Téměř holomorfní modulární forma - Almost holomorphic modular form - Wikipedia

v matematika, téměř holomorfní modulární formy, také zvaný téměř holomorfní modulární formy, jsou zobecněním modulární formy což jsou polynomy v 1 / Im (τ) s koeficienty, které jsou holomorfní funkcí τ. A kvazimodulární forma je holomorfní část téměř holomorfní modulární formy. Téměř holomorfní modulární forma je určena její holomorfní částí, takže operace převzetí holomorfní části dává izomorfismus mezi prostory téměř holomorfních modulárních forem a kvazimodulárních forem. Archetypální příklady kvazimodulárních forem jsou Eisensteinova řada E₂(τ) (holomorfní část téměř holomorfní modulární formy E₂(τ) - 3 / πIm (τ)) a deriváty modulárních forem.

Pokud jde o teorii reprezentace, modulární formy zhruba odpovídají vektorům s nejvyšší váhou určitých diskrétních řadových reprezentací SL₂(R), zatímco téměř holomorfní nebo kvazimodulární formy zhruba odpovídají ostatním (ne nutně s nejvyšší hmotností) vektorům těchto reprezentací.

Definice

Pro zjednodušení zápisu tato část zpracovává případ úrovně 1; rozšíření na vyšší úrovně je jednoduché.

Téměř holomorfní modulární forma úrovně 1 je funkce F v horní polovině roviny s vlastnostmi:

• F transformuje jako modulární forma: ${ displaystyle f ((a tau + b) / (c tau + d)) = (c tau + d) ^ {k} f ( tau)}$ pro celé číslo k volal hmotnost, pro všechny prvky SL₂(Z) (to znamená: a, b, c, d jsou celá čísla s ad - bc = 1).
• Jako funkce q= e^2πiτ, F je polynom v 1 / Im (τ) s koeficienty, které jsou holomorfní funkcí q.

Kvazimodulární forma úrovně 1 je definována jako konstantní člen téměř holomorfní modulární formy (považován za polynom v 1 / Im (τ)).

Struktura

Kruh téměř holomorfních modulárních forem úrovně 1 je polynomiální kruh nad komplexními čísly ve třech generátorech ${ displaystyle E_ {2} ( tau) -3 / pi Im ( tau), E_ {4} ( tau), E_ {6} ( tau)}$. Podobně kruh kvazimodulárních forem úrovně 1 je polynomiální kruh nad komplexními čísly ve třech generátorech ${ displaystyle E_ {2} ( tau), E_ {4} ( tau), E_ {6} ( tau)}$.

Kvazimodulární formy lze interpretovat jako určité části svazky trysek.^[1]

Deriváty

Ramanujan poznamenal, že derivát jakékoli kvazimodulární formy je další kvazimodulární forma.^[2] Například,

${ displaystyle { begin {aligned} { frac {1} {2 pi i}} { frac {dE_ {2}} {d tau}} & = { frac {E_ {2} ^ {2 } -E_ {4}} {12}} [6pt] { frac {1} {2 pi i}} { frac {dE_ {4}} {d tau}} & = { frac { E_ {2} E_ {4} -E_ {6}} {3}} [6pt] { frac {1} {2 pi i}} { frac {dE_ {6}} {d tau} } & = { frac {E_ {2} E_ {6} -E_ {4} ^ {2}} {2}} end {zarovnáno}}}$

Protože pole generované kvazimodulárními formami určité úrovně má stupeň transcendence 3 nad C, to znamená, že jakákoli kvazimodulární forma splňuje nějakou nelineární diferenciální rovnici řádu 3. Například Eisensteinova řada E₂ uspokojuje Chazy rovnice (dejte nebo vezměte několik konstant).

Reference

• Movasati, Hossein (2012), „Kvazi-modulární tvary spojené s eliptickými křivkami, já“, Ann. Matematika. Blaise Pascal, 19 (2): 307–377, PAN  3025138
• Zagier, Don (2008), „Eliptické modulární formy a jejich aplikace“, v Ranestad, Kristian (ed.), 1-2-3 modulárních forem. Přednášky na letní škole v Nordfjordeidu v Norsku, červen 2004Universitext, s Bruinierem, Jan Hendrik; van der Geer, Gerard; Harder, Günter, Berlín: Springer-Verlag, s. 1–103, doi:10.1007/978-3-540-74119-0, ISBN  978-3-540-74117-6, PAN  2409678, Zbl  1197.11047