Slabě holomorfní modulární forma - Weakly holomorphic modular form - Wikipedia

v matematika, a slabě holomorfní modulární forma je podobný holomorfní modulární formě, kromě toho, že je povoleno mít póly na špičkách. Mezi příklady patří modulární funkce a modulární formy.

Definice

Pro zjednodušení zápisu tato část provádí případ úrovně 1; rozšíření na vyšší úrovně je jednoduché.

Úroveň 1 slabě holomorfní modulární forma je funkce F v horní polovině roviny s vlastnostmi:

• F transformuje jako modulární forma: ${ displaystyle f ((a tau + b) / (c tau + d)) = (c tau + d) ^ {k} f ( tau)}$ pro celé číslo k volal hmotnost, pro všechny prvky SL₂(Z).
• Jako funkce q= e^2πiτ, F je dána Laurentovou řadou, jejíž poloměr konvergence je 1 (tak F je holomorfní na horní polovině roviny a meromorfní na špičkách).

Příklady

Kruh modulárních forem úrovně 1 je generován řadou Eisenstein E₄ a E₆ (které generují kruh holomorfních modulárních forem) společně s inverzní 1 / Δ z modulární diskriminátor.

Jakoukoli slabě holomorfní modulární formu jakékoli úrovně lze zapsat jako kvocient dvou holomorfních modulárních forem. Avšak ne každý kvocient dvou holomorfních modulárních forem je slabě holomorfní modulární forma, protože může mít póly v horní polovině roviny.

Reference

• Duke, W .; Jenkins, Paul (2008), „O nulách a koeficientech určitých slabě holomorfních modulárních forem“, Pure Appl. Matematika. OtázkaZvláštní vydání: Na počest Jean-Pierre Serre. Část 1, 4 (4): 1327–1340, doi:10.4310 / PAMQ.2008.v4.n4.a15, PAN  2441704, Zbl  1200.11027