Vzdušná funkce zeta - Airy zeta function - Wikipedia

v matematika, Vzdušná funkce zeta, studoval Crandall (1996), je funkce analogická k Funkce Riemann zeta a související s nulami Vzdušná funkce.

Definice

Funkce Airy Ai a Bi

Funkce Airy

${ displaystyle mathrm {Ai} (x) = { frac {1} { pi}} int _ {0} ^ { infty} cos left ({ tfrac {1} {3}} t ^ {3} + xt vpravo) , dt,}$

je pozitivní pro pozitivní X, ale osciluje pro záporné hodnoty X; posloupnost hodnot X pro které Ai (X) = 0, seřazené podle absolutních hodnot, se nazývají vzdušné nuly a jsou označeny A₁, A₂, ...

Funkce Airy zeta je funkce definovaná z této posloupnosti nul řadou

${ displaystyle zeta _ { mathrm {Ai}} (s) = sum _ {i = 1} ^ { infty} { frac {1} {| a_ {i} | ^ {s}}}. }$

Tato řada konverguje, když skutečná část z s je větší než 3/2 a může být prodlouženo o analytické pokračování na jiné hodnoty s.

Hodnocení na celá čísla

Jako Riemannova funkce zeta, jejíž hodnota ${ displaystyle zeta (2) = pi ^ {2} / 6}$ je řešením Basilejský problém lze funkci Airy zeta přesně vyhodnotit na s = 2:

${ displaystyle zeta _ { mathrm {Ai}} (2) = součet _ {i = 1} ^ { infty} { frac {1} {a_ {i} ^ {2}}} = { frac {3 ^ {5/3} Gamma ^ {4} ({ frac {2} {3}})} {4 pi ^ {2}}},}$

kde Γ je Funkce gama, kontinuální varianta faktoriál Podobná hodnocení jsou možná i pro větší celočíselné hodnoty s.

Předpokládá se, že analytické pokračování funkce Airy zeta se vyhodnotí na 1 až

${ displaystyle zeta _ { mathrm {Ai}} (1) = { frac {-3 ^ {- 2/3} Gamma ({ frac {2} {3}})}} { Gamma ({ frac {4} {3}})}}.}$

Reference

• Crandall, Richard E. (1996), „O funkci kvantové zety“, Journal of Physics A: Mathematical and General, 29 (21): 6795–6816, Bibcode:1996JPhA ... 29.6795C, doi:10.1088/0305-4470/29/21/014, ISSN  0305-4470, PAN  1421901

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Airy Zeta Function“. MathWorld.