Algoritmus Aharonov – Jones – Landau - Aharonov–Jones–Landau algorithm
v počítačová věda, Algoritmus Aharonov – Jones – Landau je efektivní kvantový algoritmus pro získání přísady přiblížení z Jonesův polynom daného odkazu libovolně kořen jednoty. Nalezení multiplikativní aproximace je a #P - těžký problém,[1] lepší aproximace je tedy považována za nepravděpodobnou. Je však známo, že výpočet aditivní aproximace Jonesova polynomu je a BQP -úplný problém.[2]
Algoritmus byl publikován v roce 2009 v příspěvku od autora Dorit Aharonov, Vaughan Jones a Zeph Landau.
Markovova stopa
První myšlenka za algoritmem je najít přitažlivější popis operace vyhodnocení Jonesova polynomu. To se děje pomocí Markovovy stopy.
"Markovova stopa" je operátor trasování definovaný na Temperley – Liebova algebra takto: vzhledem k což je singl Kauffmanův diagram, nechť kde je počet smyček dosažených identifikací každého bodu ve spodní části Kauffmanovo schéma s odpovídajícím bodem nahoře. To se vztahuje lineárně na všechny .
Markovova stopa je operátorem trasování v tom smyslu a pro všechny . Má také další vlastnost, že pokud je Kauffmanův diagram, jehož pramen zcela vpravo pak jde přímo nahoru .
Užitečným faktem využívaným algoritmem AJL je, že Markovova stopa je jedinečným operátorem trasování s touto vlastností.[3]
Zastupování v
Pro komplexní číslo definujeme mapu přes . Z přímého výpočtu vyplývá, že pokud to uspokojuje pak je reprezentace.
Dostal mozek nechat být odkazem dosaženým identifikací spodní části diagramu s jeho vrcholem jako v definici Markovovy stopy a nechat být Jonesovým polynomem výsledného odkazu. Platí následující vztah:
kde je svíjet se. Vzhledem k tomu, že svinování lze snadno vypočítat klasicky, snižuje se tím problém aproximace Jonesova polynomu s aproximací Markovovy stopy.
Reprezentace modelu cesty
Chceme vytvořit komplexní reprezentaci z takové, že reprezentace z bude jednotný. Také si přejeme, aby naše zastoupení mělo přímé kódování do qubitů.
Nechat
a nechte být vektorový prostor, který má jako ortonormální základ.
Zvolili jsme definici lineární mapy definováním na základě generátorů . K tomu musíme definovat prvek matice pro všechny .
Říkáme to a jsou „kompatibilní“, pokud pro všechny a . Geometricky to znamená, že pokud dáme a pod a nad Kauffmanovým diagramem v mezerách mezi vlákny, pak se žádná komponenta připojení nedotkne dvou mezer, které jsou označeny různými čísly.
Li a jsou nekompatibilní . Jinak nechte buď nebo (alespoň jedno z těchto čísel musí být definováno a pokud jsou definovány oba, musí být stejné) a nastaveno
kde . Nakonec nastaveno .
Toto znázornění, známé jako reprezentace modelu cesty, indukuje jednotnou reprezentaci skupiny opletení.[4][5] Navíc to platí pro .
To znamená, že pokud bychom v této reprezentaci mohli aproximovat Markovovu stopu, umožní nám to aproximovat Jonesův polynom v .
Kvantová verze reprezentace modelu cesty
Abychom mohli působit na prvky reprezentace modelu dráhy pomocí kvantových obvodů, musíme zakódovat prvky do qubitů způsobem, který nám umožňuje snadno popsat obrazy generátorů .
Každou cestu reprezentujeme jako posloupnost tahů, kde označuje pohyb doprava a označuje pohyb doleva. Například cesta bude zastoupen státem .
To kóduje jako podprostor stavového prostoru na qubits.
Definujeme operátory v tomto podprostoru definujeme
kde je Pauliho matice převrácení th bit a je poloha cesty představovaná po kroky.
Svévolně prodlužujeme být identitou ve zbytku prostoru.
Bereme na vědomí, že mapování zachovává všechny vlastnosti reprezentace modelu cesty. Konkrétně indukuje jednotnou reprezentaci z . Je poměrně jednoduché to ukázat lze implementovat pomocí brány, takže z toho vyplývá lze implementovat pro všechny použitím kde je počet přechodů v .
Kvantová verze Markovovy stopy
Výhodou této konstrukce je, že nám dává způsob, jak reprezentovat Markovovu stopu způsobem, který lze snadno aproximovat.
Nechat být podprostor cest, které jsme popsali v předchozí klauzi, a nechť být podprostor překlenutý základními prvky, které představují procházky, které končí na th pozice.
Všimněte si, že každý z operátorů opravit setwise, a tak to platí pro všechny , tedy operátor je dobře definován.
Definujeme následující operátor:
kde je obvyklá stopa matice.
Ukazuje se, že tento operátor je operátor trasování s vlastností Markov, takže podle věty uvedené výše musí být Markovova stopa. Tím se dokončí požadovaná redukce, protože se zjistí, že k přiblížení Jonesova polynomu stačí k přiblížení .
Algoritmus
algoritmus Přibližné Jonesovo stopové uzavření je vstup s přechody Celé číslo výstup číslo takhle se vší exponenciálně malou pravděpodobností opakovat pro na 1. Vyberte náhodně taková, že pravděpodobnost výběru konkrétního je úměrný 2. Náhodně vybrat který končí v poloze 3. Pomocí Hadamardův test vytvořit náhodnou proměnnou s To samé vytvořte s nechat být průměrem vrátit se
Všimněte si, že parametr použitý v algoritmu závisí na .
Správnost tohoto algoritmu je stanovena použitím Hoeffding svázán na a odděleně.
Poznámky
- ^ Kuperberg, Greg (2009). „Jak těžké je přiblížit Jonesův polynom?“. arXiv:0908.0512.
- ^ Freedman, Michael; Larsen, Michael; Wang, Zhenghan (2000). "Modulární funktor, který je univerzální pro kvantový výpočet". arXiv:quant-ph / 0001108.
- ^ Jones, V.F.R (1983). "Index pro dílčí faktory". Vymysli matematiku. 1 (72). Bibcode:1983InMat..72 ... 1J. doi:10.1007 / BF01389127.
- ^ Jones, V.F.R (1985). "Polynomiální invariant pro uzly pomocí von Neumannovy algebry". Býk. Amer. Matematika. Soc. 12: 103–111. doi:10.1090 / s0273-0979-1985-15304-2.
- ^ Jones, V.F.R (1986). "Braid groups, Hecke Algebras and type II factors". Geometrické metody v operátorových algebrách. 123: 242–273.
Reference
- D. Aharonov, V. Jones, Z. Landau - Polynomiální kvantový algoritmus pro aproximaci Jonesova polynomu