Hadamardův test (kvantový výpočet) - Hadamard test (quantum computation)

v kvantový výpočet, Hadamardův test je metoda použitá k vytvoření náhodná proměnná jehož očekávaná hodnota je očekávaný skutečná část zjištěné hodnoty a kvantový stav s ohledem na některé nečleněný operátor.^[1]

Nechat ${ displaystyle left | psi right rangle}$ být státem, který lze efektivně generovat, a nechat ${ displaystyle U}$ být jednotná brána. Hadamardův test vytváří náhodnou proměnnou, jejíž obraz je v ${ displaystyle { pm 1 }}$ a jehož očekávaná hodnota je přesně ${ displaystyle { mathcal {Re}} levá langle psi střední U střední psi pravá rangle}$. Varianta testu vytváří náhodnou proměnnou, jejíž očekávaná hodnota je ${ displaystyle { mathcal {Im}} levá langle psi střední U střední psi pravá rangle}$.^[1]

Abychom provedli Hadamardův test, nejprve spočítáme stav ${ displaystyle { frac {1} { sqrt {2}}} left ( left | 0 right rangle + left | 1 right rangle right) otimes left | psi right zvonit}$. Poté použijeme unitární operátor ${ displaystyle left | psi right rangle}$ podmíněn prvním qubit získat stát ${ displaystyle { frac {1} { sqrt {2}}} left ( left | 0 right rangle otimes left | psi right rangle + left | 1 right rangle otimes U left | psi right rangle right)}$. Poté aplikujeme Hadamardova brána na první qubit, výtěžek ${ displaystyle { frac {1} {2}} left ( left | 0 right rangle otimes (I + U) left | psi right rangle + left | 1 right rangle otimes (IU) left | psi right rangle right)}$.

Výsledkem je měření prvního qubitu ${ displaystyle left | 0 right rangle}$ s pravděpodobností ${ displaystyle { frac {1} {4}} vlevo langle psi mid (I + U ^ { dagger}) (I + U) mid psi vpravo rangle}$, v takovém případě vydáme ${ displaystyle 1}$. Výsledek je ${ displaystyle left | 1 right rangle}$ s pravděpodobností ${ displaystyle { frac {1} {4}} levý langle psi mid (I-U ^ { dagger}) (I-U) mid psi pravý rangle}$, v takovém případě vydáme ${ displaystyle -1}$. Očekávanou hodnotou výstupu pak bude rozdíl mezi těmito dvěma pravděpodobnostmi, což je ${ displaystyle { frac {1} {2}} left langle psi mid (U ^ { dagger} + U) mid psi right rangle = { mathcal {Re}} left langle psi mid U mid psi right rangle}$

Získat náhodnou proměnnou, jejíž očekávání je ${ displaystyle { mathcal {Im}} levá langle psi střední U střední psi pravá rangle}$ postupujte přesně stejným postupem, ale začněte s ${ displaystyle { frac {1} { sqrt {2}}} left ( left | 0 right rangle -i left | 1 right rangle right) otimes left | psi right rangle}$.

Hadamardův test má mnoho aplikací v kvantových algoritmech, jako je Algoritmus Aharonov-Jones-Landau.

Reference