Affine Grassmannian (potrubí) - Affine Grassmannian (manifold)

v matematika, existují dva odlišné významy termínu afinní Grassmannian. V jednom je rozmanitý ze všech k-dimenzionální afinní podprostory z Rⁿ (popsáno na této stránce), zatímco na druhé straně afinní Grassmannian je podíl skupinového kruhu založeného na formální sérii Laurent.

Formální definice

Vzhledem k tomu, že je konečně-dimenzionální vektorový prostor PROTI a nezáporné celé číslo k, pak Graff_k(PROTI) je topologický prostor ze všech afinní k-dimenzionální podprostory PROTI.

Má přirozenou projekci str: Graff_k(PROTI) → Gr_k(PROTI), Grassmannian všech lineárních k-dimenzionální podprostory PROTI definováním str(U) být překladem U do podprostoru přes počátek. Tato projekce je fibrace, a pokud PROTI dostane vnitřní produkt obsahující vlákninu U lze identifikovat pomocí ${ displaystyle p (U) ^ { perp}}$, ortogonální doplněk k str(UVlákna jsou tedy vektorovými prostory a projekcí str je vektorový svazek přes Grassmannian, který definuje potrubí struktura na Graff_k(PROTI).

Jako homogenní prostor, afinní Grassmannian z n-dimenzionální vektorový prostor PROTI lze identifikovat pomocí

${ displaystyle mathrm {Graff} _ {k} (V) simeq { frac {E (n)} {E (k) krát O (n-k)}}}$

kde E(n) je Euklidovská skupina z Rⁿ a O (m) je ortogonální skupina na R^m. Z toho vyplývá, že rozměr je dán vztahem

${ displaystyle dim left [ mathrm {Graff} _ {k} (V) right] = (n-k) (k + 1) ,.}$

(Tento vztah lze snáze odvodit z identifikace následující části, jako rozdíl mezi počtem koeficientů, (n−k)(n+1) a rozměr lineární skupiny působící na rovnice, (n−k)².)

Vztah s obyčejným Grassmannianem

Nechat (X₁,…,X_n) být obvyklé lineární souřadnice na Rⁿ. Pak Rⁿ je vložen do Rⁿ⁺¹ jako afinní hyperplán X_n+1 = 1. The k-dimenzionální afinní podprostory Rⁿ jsou v osobní korespondenci s (k+1) -dimenzionální lineární podprostory Rⁿ⁺¹ které jsou v obecné poloze vzhledem k rovině X_n+1 = 1. Opravdu, a k-rozměrný afinní podprostor Rⁿ je místo řešení řady n − k soustava afinních rovnic

${ displaystyle { begin {aligned} a_ {11} x_ {1} + cdots + a_ {1n} x_ {n} & = a_ {1, n + 1} & vdots & a_ {nk , 1} x_ {1} + cdots + a_ {nk, n} x_ {n} & = a_ {nk, n + 1}. End {aligned}}}$

Ty určují hodnost n−k systém lineární rovnice zapnuty Rⁿ⁺¹

${ displaystyle { begin {aligned} a_ {11} x_ {1} + cdots + a_ {1n} x_ {n} & = a_ {1, n + 1} x_ {n + 1} & vdots & a_ {nk, 1} x_ {1} + cdots + a_ {nk, n} x_ {n} & = a_ {nk, n + 1} x_ {n + 1}. end {aligned}} }$

jehož řešení je (k + 1) - letadlo, které při protnutí s X_n+1 = 1, je originál k-letadlo.

Z důvodu této identifikace Graff (k,n) je Zariski otevřená sada v Gr (k + 1, n + 1).

Reference

• Klain, Daniel A .; Rota, Gian-Carlo (1997), Úvod do geometrické pravděpodobnosti, Cambridge: Cambridge University Press