Aditivní polynom - Additive polynomial

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Červen 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, aditivní polynomy jsou důležitým tématem v klasice algebraická teorie čísel.

Definice

Nechat k být pole z charakteristický str, s str A prvočíslo. A polynomiální P(X) s koeficienty v k se nazývá aditivní polynomnebo Frobenius polynomiální, pokud

${ Displaystyle P (a + b) = P (a) + P (b) ,}$

jako polynomy v A a b. Je ekvivalentní předpokládat, že tato rovnost platí pro všechny A a b v nějakém nekonečném poli obsahujícím k, jako je jeho algebraické uzavření.

Občas naprosto aditivní se používá pro výše uvedený stav a přísada se používá pro slabší stav, který P(A + b) = P(A) + P(b) pro všechny A a b v oboru. Pro nekonečná pole jsou podmínky ekvivalentní, ale pro konečná pole nejsou a slabší podmínka je „špatná“ a nechová se dobře. Například přes pole objednávky q jakýkoli násobek P z X^q − X uspokojí P(A + b) = P(A) + P(b) pro všechny A a b v poli, ale obvykle nebude (absolutně) aditivní.

Příklady

Polynom X^str je aditivní. Ve skutečnosti pro všechny A a b v algebraickém uzavření k jeden má u binomická věta

${ displaystyle (a + b) ^ {p} = součet _ {n = 0} ^ {p} {p vyberte n} a ^ {n} b ^ {p-n}.}$

Od té doby str je nejlepší pro všechny n = 1, ..., str-1 binomický koeficient ${ displaystyle scriptstyle {p vybrat n}}$ je dělitelné str, což z toho vyplývá

${ displaystyle (a + b) ^ {p} equiv a ^ {p} + b ^ {p} mod p}$

jako polynomy v A a b.

Podobně všechny polynomy formuláře

${ displaystyle tau _ {p} ^ {n} (x) = x ^ {p ^ {n}}}$

jsou aditivní, kde n je ne-záporné celé číslo.

Definice dává smysl, i když k je pole charakteristické nuly, ale v tomto případě jsou jedinými aditivními polynomy polynomy ve formě sekera pro některé A v k.^{[Citace je zapotřebí ]}

Kruh aditivních polynomů

Je docela snadné dokázat, že existuje lineární kombinace polynomů ${ displaystyle scriptstyle tau _ {p} ^ {n} (x)}$ s koeficienty v k je také aditivní polynom. Zajímavou otázkou je, zda existují další aditivní polynomy kromě těchto lineárních kombinací. Odpověď je, že jsou jediní.

Jeden může zkontrolovat, zda P(X) a M(X) jsou aditivní polynomy, stejně tak jsou P(X) + M(X) a P(M(X)). Z toho vyplývá, že aditivní polynomy tvoří a prsten podle polynomiálního sčítání a složení. Tento prsten je označen

${ displaystyle k { tau _ {p} }. ,}$

Tento prsten není komutativní, pokud k rovná se poli ${ displaystyle scriptstyle mathbb {F} _ {p} = mathbf {Z} / p mathbf {Z}}$ (vidět modulární aritmetika ). Zvažte aditivní polynomy sekera a X^str pro koeficient A v k. Aby mohli dojíždět ve složení, musíme

${ displaystyle (sekera) ^ {p} = sekera ^ {p}, ,}$

nebo A^str − A = 0. To platí pro A není kořenem této rovnice, tedy pro A mimo ${ displaystyle scriptstyle mathbb {F} _ {p}.}$

Základní věta o aditivních polynomech

Nechat P(X) být polynom s koeficienty v k, a ${ displaystyle scriptstyle {w_ {1}, tečky, w_ {m} } podmnožina k}$ být kořenem jeho kořenů. Za předpokladu, že kořeny P(X) jsou odlišné (tj. P(X) je oddělitelný ), pak P(X) je aditivní právě tehdy, když je sada ${ displaystyle scriptstyle {w_ {1}, tečky, w_ {m} }}$ tvoří a skupina s přidáním pole.

Viz také

• Modul Drinfeld
• Aditivní mapa

Reference

• David Goss, Základní struktury aritmetiky funkčních polí, 1996, Springer, Berlín. ISBN  3-540-61087-1.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Aditivní polynom“. MathWorld.