Zeemansova věta o srovnání - Zeemans comparison theorem - Wikipedia

v homologická algebra, Zeemanova věta o srovnání, představil Zeeman (1957 ), dává podmínky pro a morfismus z spektrální sekvence být izomorfismem.

Prohlášení

Věta o srovnání — Nechat ${ displaystyle E_ {p, q} ^ {r}, {} ^ { prime} E_ {p, q} ^ {r}}$ být první kvadrantovou spektrální sekvencí ploché moduly přes komutativní kruh a ${ displaystyle f: E ^ {r} až {} ^ { prime} E ^ {r}}$ morfismus mezi nimi. Jakékoli dva z následujících tvrzení pak implikují třetí:

${ displaystyle f: E_ {2} ^ {p, 0} až {} ^ { prime} E_ {2} ^ {p, 0}}$ je izomorfismus pro každého p.
${ displaystyle f: E_ {2} ^ {0, q} až {} ^ { prime} E_ {2} ^ {0, q}}$ je izomorfismus pro každého q.
${ displaystyle f: E _ { infty} ^ {p, q} až {} ^ { prime} E _ { infty} ^ {p, q}}$ je izomorfismus pro každého p, q.

Ilustrativní příklad

Pro ilustraci nakreslíme důkaz Borelův teorém, který říká, že cohomologický kruh klasifikačního prostoru je polynomiální kruh.^[1]

Nejprve se G jako Lieova skupina a s ${ displaystyle mathbb {Q}}$ jako prstenec koeficientu máme spektrální sekvenci Serre ${ displaystyle E_ {2} ^ {p, q}}$ pro fibraci ${ displaystyle G to EG to BG}$ . My máme: ${ displaystyle E _ { infty} simeq mathbb {Q}}$ od té doby NAPŘ je smluvní. Také máme Hopfova věta s uvedením toho ${ displaystyle H ^ {*} (G; mathbb {Q}) simeq Lambda (u_ {1}, tečky, u_ {n})}$ , vnější algebra generovaná konečně mnoha homogenními prvky.

Dále jsme to nechali ${ displaystyle E (i)}$ být spektrální sekvence, jejíž druhá stránka je ${ displaystyle E (i) _ {2} = Lambda (x_ {i}) otimes mathbb {Q} [y_ {i}]}$ a jejichž netriviální diferenciály na r-tá stránka je dána ${ displaystyle d (x_ {i}) = y_ {i}}$ a odstupňované Leibnizovo pravidlo. Nechat ${ displaystyle {} ^ { prime} E_ {r} = další _ {i} E_ {r} (i)}$ . Protože cohomologie dojíždí s tenzorovými produkty, když pracujeme na poli, ${ displaystyle {} ^ { prime} E_ {r}}$ je opět taková spektrální sekvence ${ displaystyle {} ^ { prime} E _ { infty} simeq mathbb {Q} otimes dots otimes mathbb {Q} simeq mathbb {Q}}$ . Pak jsme to nechali

{ displaystyle f: {} ^ { prime} E_ {r} až E_ {r}, , x_ {i} mapsto u_ {i}.}

Všimněte si, podle definice, F dává izomorfismus ${ displaystyle {} ^ { prime} E_ {r} ^ {0, q} simeq E_ {r} ^ {0, q} = H ^ {q} (G; mathbb {Q}).}$ Rozhodujícím bodem je to F je "kruhový homomorfismus "; toto závisí na technických podmínkách, které ${ displaystyle u_ {i}}$ jsou „přestupné“ (viz Hatcher pro podrobnou diskusi o této záležitosti.) Poté, co je tento technický bod postarán, dochází k závěru: ${ displaystyle E_ {2} ^ {p, 0} simeq {} ^ { prime} E_ {2} ^ {p, 0}}$ jako prsten srovnávací větou; to je ${ displaystyle E_ {2} ^ {p, 0} = H ^ {p} (BG; mathbb {Q}) simeq mathbb {Q} [y_ {1}, dots, y_ {n}]. }$

Reference

^ Líhně, Věta 1.34

McCleary, John (2001), Uživatelská příručka k spektrálním sekvencím, Cambridge studia pokročilé matematiky, 58 (2. vyd.), Cambridge University Press, doi:10.2277/0521567599, ISBN 978-0-521-56759-6, PAN 1793722
Roitberg, Joseph; Hilton, Peter (1976), „Podle Zeemanovy srovnávací věty pro homologii kvazi-nilpotentních fibrací“ (PDF), Quarterly Journal of Mathematics. Oxford. Druhá série, 27 (108): 433–444, doi:10.1093 / qmath / 27.4.433, ISSN 0033-5606, PAN 0431151
Zeeman, Erik Christopher (1957), „Důkaz věty o srovnání pro spektrální sekvence“, Proc. Cambridge Philos. Soc., 53: 57–62, doi:10.1017 / S0305004100031984, PAN 0084769

Tento abstraktní algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.

[1] Líhně, Věta 1.34

[1]