Nerovnost Wirtingers pro funkce - Wirtingers inequality for functions - Wikipedia

Další nerovnosti pojmenované po Wirtingerovi viz Wirtingerova nerovnost.

v matematika, historicky Wirtingerova nerovnost pro skutečné funkce byla nerovnost použito v Fourierova analýza. Bylo pojmenováno po Wilhelm Wirtinger. To bylo používáno v roce 1904 k prokázání izoperimetrická nerovnost. Řada úzce souvisejících výsledků je dnes známá jako Wirtingerova nerovnost.

Teorém

První verze

Nechat ${ displaystyle f: mathbb {R} do mathbb {R}}$ být periodická funkce periody 2π, která je spojitá a má spojitou derivaci v celém rozsahu Ra tak dále

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} f (x) , dx = 0.}$

Pak

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} f '^ {2} (x) , dx geq int _ {0} ^ {2 pi} f ^ {2} (x) , dx}$

s rovností kdyby a jen kdyby F(X) = A hřích(X) + b cos (X) pro některé A a b (nebo ekvivalentně F(X) = C hřích (X + d) pro některé C a d).

Tato verze Wirtingerovy nerovnosti je jednorozměrná Poincarého nerovnost, s optimální konstantou.

Druhá verze

Následující související nerovnost se také nazývá Wirtingerova nerovnost (Dym & McKean 1985 ):

${ displaystyle pi ^ {2} int _ {0} ^ {a} | f | ^ {2} leq a ^ {2} int _ {0} ^ {a} | f '| ^ {2 }}$

kdykoli F je C.¹ fungovat tak, že F(0) = F(A) = 0. V této formě je Wirtingerova nerovnost vnímána jako jednorozměrná verze Friedrichsova nerovnost.

Důkaz

Důkaz obou verzí je podobný. Zde je důkaz první verze nerovnosti. Od té doby Dirichletovy podmínky jsou splněny, můžeme psát

${ displaystyle f (x) = { frac {1} {2}} a_ {0} + sum _ {n geq 1} left (a_ {n} { frac { sin nx} { sqrt { pi}}} + b_ {n} { frac { cos nx} { sqrt { pi}}} vpravo),}$

a navíc A₀ = 0 od integrálu F zmizí. Podle Parsevalova identita,

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} f ^ {2} (x) dx = součet _ {n = 1} ^ { infty} (a_ {n} ^ {2} + b_ { n} ^ {2})}$

a

${ displaystyle int _ {0} ^ {2 pi} f '^ {2} (x) , dx = součet _ {n = 1} ^ { infty} n ^ {2} (a_ {n } ^ {2} + b_ {n} ^ {2})}$

a protože jsou všechny součty ≥ 0, dostaneme požadovanou nerovnost s rovností právě tehdy A_n = b_n = 0 pro všechny n ≥ 2.

Reference

• Dym, H; McKean, H (1985), Fourierovy řady a integrály, Akademický tisk, ISBN  978-0-12-226451-1
• Paul J. Nahin (2006) Báječný vzorec Dr. Eulera, strana 183, Princeton University Press ISBN  0-691-11822-1

• Komkov, Vadim (1983) Eulerův vzpěrný vzorec a Wirtingerova nerovnost. Internat. J. Math. Vyd. Sci. Tech. 14, č. 6, 661-668.

Tento článek obsahuje materiál z Wirtingerovy nerovnosti PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.