Kritérium výnosu Willam – Warnke - Willam–Warnke yield criterion

Tříparametrový výnosový povrch Willam-Warnke.

The Willam – Warnke kritérium výnosu ^[1] je funkce, která se používá k předpovědi, kdy dojde k selhání v beton a další soudržné třecí materiály jako např Skála, půda, a keramika. Toto kritérium výtěžku má funkční formu

${displaystyle f (I_ {1}, J_ {2}, J_ {3}) = 0,}$

kde ${displaystyle I_ {1}}$ je první invariant Cauchyho tenzoru napětí a ${displaystyle J_ {2}, J_ {3}}$ jsou druhý a třetí invarianty deviátorové části Cauchyho tenzoru napětí. Existují tři materiálové parametry (${displaystyle sigma _ {c}}$ - jednoosá pevnost v tlaku, ${displaystyle sigma _ {t}}$ - jednoosá pevnost v tahu, ${displaystyle sigma _ {b}}$ - rovnovážná pevnost v tlaku), která musí být stanovena před použitím kritéria výtěžnosti Willam-Warnke pro předpovědi selhání.

Ve smyslu ${displaystyle I_ {1}, J_ {2}, J_ {3}}$, kritérium výnosu Willam-Warnke lze vyjádřit jako

${displaystyle f: = {sqrt {J_ {2}}} + lambda (J_ {2}, J_ {3}) ~ ({frac {I_ {1}} {3}} - B) = 0}$

kde ${displaystyle lambda}$ je funkce, na které záleží ${displaystyle J_ {2}, J_ {3}}$ a tři materiálové parametry a ${displaystyle B}$ záleží pouze na materiálových parametrech. Funkce ${displaystyle lambda}$ lze interpretovat jako úhel tření, který závisí na úhlu Lode (${displaystyle heta}$). Množství ${displaystyle B}$ se interpretuje jako kohezní tlak. Kritérium výnosu Willam-Warnke lze tedy považovat za kombinaci Mohr – Coulomb a Drucker – Prager kritéria výnosu.

Funkce výnosu Willam-Warnke

Pohled na tříparametrový výtěžek Willam-Warnke ve 3D prostoru hlavních napětí pro ${displaystyle sigma _ {c} = 1, sigma _ {t} = 0,3, sigma _ {b} = 1,7}$

Stopa tříparametrového povrchu výnosu Willam-Warnke v ${displaystyle sigma _ {1} -sigma _ {2}}$- letadlo pro ${displaystyle sigma _ {c} = 1, sigma _ {t} = 0,3, sigma _ {b} = 1,7}$

V původním článku byla tříparametrická funkce výtěžku Willam-Warnke vyjádřena jako

${displaystyle f = {cfrac {1} {3z}} ~ {cfrac {I_ {1}} {sigma _ {c}}} + {sqrt {cfrac {2} {5}}} ~ {cfrac {1} { r (heta)}} {cfrac {sqrt {J_ {2}}} {sigma _ {c}}} - 1leq 0}$

kde ${displaystyle I_ {1}}$ je první invariant tenzoru napětí, ${displaystyle J_ {2}}$ je druhý invariant deviátorové části tenzoru napětí, ${displaystyle sigma _ {c}}$ je mez kluzu v jednoosé kompresi a ${displaystyle heta}$ je úhel Lode daný

${displaystyle heta = {frac {1} {3}} cos ^ {- 1} vlevo ({cfrac {3 {sqrt {3}}} {2}} ~ {cfrac {J_ {3}} {J_ {2} ^ {3/2}}} hned) ~.}$

Lokalita hranice napěťové plochy v deviátorové rovině napětí je vyjádřena v polárních souřadnicích veličinou ${displaystyle r (heta)}$ který je dán

${displaystyle r (heta): = {cfrac {u (heta) + v (heta)} {w (heta)}}}$

kde

${displaystyle {egin {aligned} u (heta): = & 2 ~ r_ {c} ~ (r_ {c} ^ {2} -r_ {t} ^ {2}) ~ cos heta v (heta): = & r_ {c} ~ (2 ~ r_ {t} -r_ {c}) {sqrt {4 ~ (r_ {c} ^ {2} -r_ {t} ^ {2}) ~ cos ^ {2} heta +5 ~ r_ {t} ^ {2} -4 ~ r_ {t} ~ r_ {c}}} w (heta): = & 4 (r_ {c} ^ {2} -r_ {t} ^ {2}) cos ^ {2} heta + (r_ {c} -2 ~ r_ {t}) ^ {2} konec {zarovnáno}}}$

Množství ${displaystyle r_ {t}}$ a ${displaystyle r_ {c}}$ popsat polohové vektory v místech ${displaystyle heta = 0 ^ {circ}, 60 ^ {circ}}$ a lze jej vyjádřit pomocí ${displaystyle sigma _ {c}, sigma _ {b}, sigma _ {t}}$ jako (zde ${displaystyle sigma _ {b}}$ je napětí při selhání při ekviabiaxiální kompresi a ${displaystyle sigma _ {t}}$ je napětí při selhání při jednoosém napětí)

${displaystyle r_ {c}: = {sqrt {cfrac {6} {5}}} vlevo [{cfrac {sigma _ {b} sigma _ {t}} {3sigma _ {b} sigma _ {t} + sigma _ {c} (sigma _ {b} -sigma _ {t})}} ight] ~; ~~ r_ {t}: = {sqrt {cfrac {6} {5}}} vlevo [{cfrac {sigma _ { b} sigma _ {t}} {sigma _ {c} (2sigma _ {b} + sigma _ {t})}} vpravo]}$

Parametr ${displaystyle z}$ v modelu je dáno

${displaystyle z: = {cfrac {sigma _ {b} sigma _ {t}} {sigma _ {c} (sigma _ {b} -sigma _ {t})}}}.}$

The Zastoupení Haigh-Westergaard podmínky výtěžnosti Willam-Warnke lze zapsat jako

${displaystyle f (xi, ho, heta) = 0, quad equiv quad f: = {ar {lambda}} (heta) ~ ho + {ar {B}} ~ xi -sigma _ {c} leq 0}$

kde

${displaystyle {ar {B}}: = {cfrac {1} {{sqrt {3}} ~ z}} ~; ~~ {ar {lambda}}: = {cfrac {1} {{sqrt {5}} ~ r (heta)}} ~.}$

Upravené formy kritéria výnosu Willam-Warnke

Ulm-Coussy-Bazant verze tříparametrické výnosové plochy Willam-Warnke v ${displaystyle pi}$- letadlo pro ${displaystyle sigma _ {c} = 1, sigma _ {t} = 0,3, sigma _ {b} = 1,7}$

Alternativní forma kritéria výnosu Willam-Warnke v Souřadnice Haigh-Westergaard je forma Ulm-Coussy-Bazant:^[2]

${displaystyle f (xi, ho, heta) = 0, quad {ext {or}} quad f: = ho + {ar {lambda}} (heta) ~ left (xi - {ar {B}} ight) = 0 }$

kde

${displaystyle {ar {lambda}}: = {sqrt {frac {2} {3}}} ~ {cfrac {u (heta) + v (heta)} {w (heta)}} ~; ~~ {ar { B}}: = {frac {1} {sqrt {3}}} ~ vlevo [{cfrac {sigma _ {b} sigma _ {t}} {sigma _ {b} -sigma _ {t}}} vpravo] }$

a

${displaystyle {egin {aligned} r_ {t}: = & {cfrac {{sqrt {3}} ~ (sigma _ {b} -sigma _ {t})} {2sigma _ {b} -sigma _ {t} }} r_ {c}: = & {cfrac {{sqrt {3}} ~ sigma _ {c} ~ (sigma _ {b} -sigma _ {t})}} {(sigma _ {c} + sigma _ {t}) sigma _ {b} -sigma _ {c} sigma _ {t}}} konec {zarovnáno}}}$

Množství ${displaystyle r_ {c}, r_ {t}}$ jsou interpretovány jako koeficienty tření. Aby byla plocha výnosu konvexní, vyžaduje to kritérium výnosu Willam-Warnke ${displaystyle 2 ~ r_ {t} geq r_ {c} geq r_ {t} / 2}$ a ${displaystyle 0leq heta leq {cfrac {pi} {3}}}$.

Pohled na Ulm-Coussy-Bazant verzi tříparametrického výtěžku Willam-Warnke ve 3D prostoru hlavních napětí pro ${displaystyle sigma _ {c} = 1, sigma _ {t} = 0,3, sigma _ {b} = 1,7}$

Trace verze Ulm-Coussy-Bazant tříparametrické výnosové plochy Willam-Warnke v ${displaystyle sigma _ {1} -sigma _ {2}}$- letadlo pro ${displaystyle sigma _ {c} = 1, sigma _ {t} = 0,3, sigma _ {b} = 1,7}$

Viz také

• Výnos (strojírenství)
• Výnosový povrch
• Plasticita (fyzika)

Reference

• Chen, W. F. (1982). Plastickost v železobetonu. McGraw Hill. New York.

externí odkazy

• Kaspar Willam a E.P. Warnke (1974). Konstitutivní model pro tříosé chování betonu
• Palko, J. L. (1993). Interaktivní model spolehlivosti pro keramiku tvrzenou vláskem
• Oheň „Chunnel“. I: Chemoplastické změkčení v rychle zahřátém betonu Franz-Josef Ulm, Olivier Coussy a Zdenešek P. Bazˇant.