Whitney nerovnost - Whitney inequality - Wikipedia

v matematika, Whitney nerovnost udává horní mez chyby nejlepší aproximace funkce o polynomy z hlediska moduly hladkosti. Poprvé to prokázal Hassler Whitney v roce 1957,^[1] a je důležitým nástrojem v oblasti teorie aproximace pro získání horních odhadů chyb nejlepší aproximace.

Výrok věty

Označte hodnotu nejlepší jednotné aproximace a funkce ${ displaystyle f v C ([a, b])}$ algebraicky polynomy ${ displaystyle P_ {n}}$ stupně ${ displaystyle leq n}$ podle

${ displaystyle E_ {n} (f) _ {[a, b]}: = inf _ {P_ {n}} { | f-P_ {n} | _ {C ([a, b]) }}}$

The moduly hladkosti řádu ${ displaystyle k}$ a funkce ${ displaystyle f v C ([a, b])}$ jsou definovány jako:

${ displaystyle omega _ {k} (t): = omega _ {k} (t; f; [a, b]): = sup _ {h v [0, t]} | Delta _ {h} ^ {k} (f; cdot) | _ {C ([a, b-kh])} quad { text {pro}} quad t v [0, (ba) / k],}$

${ displaystyle omega _ {k} (t): = omega _ {k} ((b-a) / k) quad { text {pro}} quad t> (b-a) / k,}$

kde ${ displaystyle Delta _ {h} ^ {k}}$ je konečný rozdíl řádu ${ displaystyle k}$.

Teorém: ^[2] [Whitney, 1957] Pokud ${ displaystyle f v C ([a, b])}$, pak

${ displaystyle E_ {k-1} (f) _ {[a, b]} leq W_ {k} omega _ {k} left ({ frac {ba} {k}}; f; [a ,Jasný)}$

kde ${ displaystyle W_ {k}}$ je konstanta závislá pouze na ${ displaystyle k}$. Whitneyova konstanta ${ displaystyle W (k)}$ je nejmenší hodnota ${ displaystyle W_ {k}}$ pro které platí výše uvedená nerovnost. Věta je zvláště užitečná, pokud je aplikována na intervaly malé délky, což vede k dobrým odhadům chyby spline přiblížení.

Důkaz

Původní důkaz poskytnutý Whitneyem následuje analytický argument, který využívá vlastnosti moduly hladkosti. Lze to však dokázat i mnohem kratším způsobem pomocí Peetreových K-funkcionálů.^[3]

Nechat:

${ displaystyle x_ {0}: = a, quad h: = { frac {ba} {k}}, quad x_ {j}: = x + 0 + jh, quad F (x) = int _ {a} ^ {x} f (u) , du,}$

${ displaystyle G (x): = F (x) -L (x; F; x_ {0}, ldots, x_ {k}), quad g (x): = G '(x),}$

${ displaystyle omega _ {k} (t): = omega _ {k} (t; f; [a, b]) equiv omega _ {k} (t; g; [a, b]) }$

kde ${ displaystyle L (x; F; x_ {0}, ldots, x_ {k})}$ je Lagrangeův polynom pro ${ displaystyle F}$ v uzlech ${ displaystyle {x_ {0}, ldots, x_ {k} }}$.

Nyní některé opravte ${ displaystyle x v [a, b]}$ a vybrat ${ displaystyle delta}$ pro který ${ displaystyle (x + k delta) v [a, b]}$. Pak:

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} Delta _ {t delta} ^ {k} (g; x) , dt = (- 1) ^ {k} g (x) + součet _ {j = 1} ^ {k} (- 1) ^ {kj} { binom {k} {j}} int _ {0} ^ {1} g (x + jt delta) , dt}$

${ displaystyle = (- 1) ^ {k} g (x) + součet _ {j = 1} ^ {k} {(- 1) ^ {kj} { binom {k} {j}} { frac {1} {j delta}} (G (x + j delta) -G (x))},}$

Proto:

${ displaystyle | g (x) | leq int _ {0} ^ {1} | Delta _ {t delta} ^ {k} (g; x) | , dt + { frac {2} { | delta |}} | G | _ {C ([a, b])} sum _ {j = 1} ^ {k} { binom {k} {j}} { frac {1} {j}} leq omega _ {k} (| delta |) + { frac {1} {| delta |}} 2 ^ {k + 1} | G | _ {C ([a , b])}}$

A protože ano ${ displaystyle | G | _ {C ([a, b])} leq h omega _ {k} (h)}$, (vlastnost moduly hladkosti )

${ displaystyle E_ {k-1} (f) _ {[a, b]} leq | g | _ {C ([a, b])} leq omega _ {k} (| delta |) + { frac {1} {| delta |}} h2 ^ {k + 1} omega _ {k} (h).}$

Od té doby ${ displaystyle delta}$ lze vždy zvolit takovým způsobem, že ${ displaystyle h geq | delta | geq h / 2}$, tím je důkaz dokončen.

Whitneyovy konstanty a Sendovova domněnka

Je důležité mít ostré odhady Whitneyových konstant. Je to snadné ukázat ${ displaystyle W (1) = 1/2}$, a to bylo poprvé prokázáno Burkill (1952) ${ displaystyle W (2) leq 1}$, který to předpokládal ${ displaystyle W (k) leq 1}$ pro všechny ${ displaystyle k}$. Whitney byl také schopen to dokázat ^[2]

${ displaystyle W (2) = { frac {1} {2}}, quad { frac {8} {15}} leq W (3) leq 0,7 quad W (4) leq 3,3 quad W (5) leq 10,4}$

a

${ displaystyle W (k) geq { frac {1} {2}}, quad k in mathbb {N}}$

V roce 1964 byl Brudnyi schopen získat odhad ${ displaystyle W (k) = O (k ^ {2k})}$, a v roce 1982 to Sendov dokázal ${ displaystyle W (k) leq (k + 1) k ^ {k}}$. V roce 1985 to Ivanov a Takev dokázali ${ displaystyle W (k) = O (k ln k)}$a Binev to dokázal ${ displaystyle W (k) = O (k)}$. Sendov si to domyslel ${ displaystyle W (k) leq 1}$ pro všechny ${ displaystyle k}$, a v roce 1985 dokázal dokázat, že Whitneyovy konstanty jsou výše ohraničeny absolutní konstantou, tj. ${ displaystyle W (k) leq 6}$ pro všechny ${ displaystyle k}$. Kryakin, Gilewicz a Shevchuk (2002)^[4] byli schopni to ukázat ${ displaystyle W (k) leq 2}$ pro ${ displaystyle k leq 82000}$, a to ${ displaystyle W (k) leq 2 + { frac {1} {e ^ {2}}}}$ pro všechny ${ displaystyle k}$.

Reference