Modul hladkosti - Modulus of smoothness

Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto problémech na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) tento článek může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby je pochopili. Prosím pomozte to vylepšit na aby to bylo srozumitelné pro neodborníky, aniž by byly odstraněny technické podrobnosti. (Březen 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, moduly hladkosti se používají pro kvantitativní měření plynulosti funkcí. Moduly hladkosti se zobecňují modul spojitosti a jsou používány v teorie aproximace a numerická analýza odhadnout chyby aproximace o polynomy a splajny.

Moduly hladkosti

Modul hladkosti řádu ${ displaystyle n}$ ^[1]funkce ${ displaystyle f v C [a, b]}$ je funkce ${ displaystyle omega _ {n}: [0, infty) to mathbb {R}}$ definován

${ displaystyle omega _ {n} (t, f, [a, b]) = sup _ {h v [0, t]} sup _ {x v [a, b-nh]} left | Delta _ {h} ^ {n} (f, x) right | qquad { text {for}} quad 0 leq t leq { frac {ba} {n}},}$

a

${ displaystyle omega _ {n} (t, f, [a, b]) = omega _ {n} vlevo ({ frac {ba} {n}}, f, [a, b] vpravo ) qquad { text {pro}} quad t> { frac {ba} {n}},}$

Kde konečný rozdíl (n-th order order difference) je definován jako

${ displaystyle Delta _ {h} ^ {n} (f, x_ {0}) = součet _ {i = 1} ^ {n} (- 1) ^ {ni} { binom {n} {i }} f (x_ {0} + ih).}$

Vlastnosti

1. ${ displaystyle omega _ {n} (0) = 0, omega _ {n} (0 +) = 0.}$

2. ${ displaystyle omega _ {n}}$ neklesá dne ${ displaystyle [0, infty).}$

3. ${ displaystyle omega _ {n}}$ je nepřetržitě zapnuto ${ displaystyle [0, infty).}$

4. Pro ${ displaystyle m in mathbb {N}, t geq 0}$ my máme:

${ displaystyle omega _ {n} (mt) leq m ^ {n} omega _ {n} (t).}$

5. ${ displaystyle omega _ {n} (f, lambda t) leq ( lambda +1) ^ {n} omega _ {n} (f, t),}$ pro ${ displaystyle lambda> 0.}$

6. Pro ${ displaystyle r in mathbb {N}}$ nechat ${ displaystyle W ^ {r}}$ označuje prostor spojité funkce na ${ displaystyle [-1,1]}$ které mají ${ displaystyle (r-1)}$-st absolutně spojitá derivace na ${ displaystyle [-1,1]}$ a

${ displaystyle left | f ^ {(r)} right | _ {L _ { infty} [- 1,1]} <+ infty.}$

Li ${ displaystyle f ve W ^ {r},}$ pak

${ displaystyle omega _ {r} (t, f, [- 1,1]) leq t ^ {r} vlevo | f ^ {(r)} vpravo | _ {L _ { infty} [-1,1]}, t geq 0,}$

kde ${ displaystyle | g (x) | _ {L _ { infty} [- 1,1]} = { mathrm {ess} sup} _ {x v [-1,1]} | g ( x) |.}$

Aplikace

Moduly hladkosti lze použít k prokázání odhadů chyby aproximace. Kvůli vlastnosti (6) poskytují moduly hladkosti obecnější odhady než odhady z hlediska derivátů.

Například se používají moduly hladkosti Whitney nerovnost odhadnout chybu lokální polynomiální aproximace. Další aplikace je dána následující obecnější verzí Jacksonova nerovnost:

Pro každé přirozené číslo ${ displaystyle n}$, pokud ${ displaystyle f}$ je ${ displaystyle 2 pi}$-periodická spojitá funkce, existuje a trigonometrický polynom ${ displaystyle T_ {n}}$ stupně ${ displaystyle leq n}$ takhle

${ displaystyle left | f (x) -T_ {n} (x right) | leq c (k) omega _ {k} left ({ frac {1} {n}}, f right ), quad x v [0,2 pi],}$

kde konstanta ${ displaystyle c (k)}$ záleží na ${ displaystyle k in mathbb {N}.}$

Reference