Whiteheads lemma - Whiteheads lemma - Wikipedia

Whiteheadovo lemma je technický výsledek v abstraktní algebra použito v algebraická K-teorie. Uvádí se v něm, že a matice formuláře

{ displaystyle { begin {bmatrix} u & 0 0 & u ^ {- 1} end {bmatrix}}}

je ekvivalentní s matice identity podle elementární transformace (tj. průřezy):

{ displaystyle { begin {bmatrix} u & 0 0 & u ^ {- 1} end {bmatrix}} = e_ {21} (u ^ {- 1}) e_ {12} (1-u) e_ {21} (-1) e_ {12} (1-u ^ {- 1}).}

Tady, ${ displaystyle e_ {ij} (y)}$ označuje matici, jejíž diagonální blok je ${ displaystyle 1}$ a ${ displaystyle ij ^ {th}}$ položka je ${ displaystyle s}$ .

Název „Whitehead's lemma“ také odkazuje na úzce související výsledek, který odvozená skupina z stabilní obecná lineární skupina je skupina generovaná uživatelem základní matice.^[1]^[2] V symbolech,

{ displaystyle operatorname {E} (A) = [ operatorname {GL} (A), operatorname {GL} (A)]}

.

To platí pro stabilní skupinu ( přímý limit matic konečné velikosti) nad jakýmkoli prstencem, ale ne obecně pro nestabilní skupiny, dokonce ani nad polem. Například pro

{ displaystyle operatorname {GL} (2, mathbb {Z} / 2 mathbb {Z})}

jeden má:

{ displaystyle operatorname {Alt} (3) cong [ operatorname {GL} _ {2} ( mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}), operatorname {GL} _ {2} ( mathbb {Z} / 2 mathbb {Z})] < operatorname {E} _ {2} ( mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}) = operatorname {SL} _ {2} ( mathbb { Z} / 2 mathbb {Z}) = operatorname {GL} _ {2} ( mathbb {Z} / 2 mathbb {Z}) cong operatorname {Sym} (3),}

kde Alt (3) a Sym (3) označují střídavý resp. symetrická skupina na 3 písmena.

Viz také

Speciální lineární skupina # Vztahy k dalším podskupinám GL (n, A)

Reference

^ Milnor, John Willard (1971). Úvod do algebraické K-teorie. Annals of Mathematics Studies. 72. Princeton, NJ: Princeton University Press. Oddíl 3.1. PAN 0349811. Zbl 0237.18005.
^ Snaith, V. P. (1994). Explicitní Brauerova indukce: S aplikacemi v algebře a teorii čísel. Cambridge studia pokročilé matematiky. 40. Cambridge University Press. str.164. ISBN 0-521-46015-8. Zbl 0991.20005.

Tento abstraktní algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.

[Mil31-1] Milnor, John Willard (1971). Úvod do algebraické K-teorie. Annals of Mathematics Studies. 72. Princeton, NJ: Princeton University Press. Oddíl 3.1. PAN 0349811. Zbl 0237.18005.

[Sn164-2] Snaith, V. P. (1994). Explicitní Brauerova indukce: S aplikacemi v algebře a teorii čísel. Cambridge studia pokročilé matematiky. 40. Cambridge University Press. str.164. ISBN 0-521-46015-8. Zbl 0991.20005.

[1]

[2]