Slabě závislé náhodné proměnné - Weakly dependent random variables

S pravděpodobností slabá závislost náhodných proměnných je zobecněním nezávislost to je slabší než koncept a martingale^{[Citace je zapotřebí ]}. Doba) sekvence z náhodné proměnné je slabě závislý, pokud různé části sekvence mají a kovariance že asymptoticky klesá na 0, protože bloky jsou dále časově odděleny. Slabá závislost se v první řadě projevuje jako technický stav pravděpodobnostní limitní věty.

Formální definice

Opravte sadu Sposloupnost sad měřitelné funkce ${ displaystyle {{ mathcal {F}} _ {d} } _ {d = 1} ^ { infty} v prod _ {d = 1} ^ { infty} { vlevo (S ^ {d} to mathbb {R} vpravo)}}$, klesající sekvence ${ displaystyle { theta _ { delta} } _ { delta = 1} ^ { infty} až 0}$a funkce ${ displaystyle psi v { mathcal {F}} ^ {2} krát ( mathbb {Z} ^ {+}) ^ {2} do mathbb {R} ^ {+}}$. Sekvence ${ displaystyle {X_ {n} } _ {n = 1} ^ { infty}}$ náhodných proměnných je ${ displaystyle ( {{ mathcal {F}} _ {d} } _ {d = 1} ^ { infty}, { theta _ { delta} } _ { delta}, psi )}$- slabě závislé, pokud pro všechny ${ displaystyle j_ {1} leq j_ {2} leq dots leq j_ {d}$, pro všechny ${ displaystyle phi in { mathcal {F}} _ {d}}$, a ${ displaystyle theta v { mathcal {F}} _ {e}}$, my máme^[1]:315

${ displaystyle | operatorname {Cov} {( phi (X_ {j_ {1}}, dots, X_ {j_ {d}}), theta (X_ {k_ {1}}, dots, X_ { k_ {e}}))} | leq psi ( phi, theta, d, e) theta _ { delta}}$

Všimněte si, že kovariance ano ne rozpadnout se na 0 jednotně v d a E.^[2]:9

Běžné aplikace

Slabá závislost je dostatečně slabou podmínkou, že ji vykazuje mnoho přirozených případů stochastických procesů.^[2]:9 Zejména slabá závislost je přirozenou podmínkou pro ergodickou teorii náhodných funkcí.^[3]

Dostatečná náhrada za nezávislost v EU Lindeberg – Lévyova centrální limitní věta je slabá závislost.^[1]:315 Z tohoto důvodu se v literatuře pravděpodobnosti o limitních větách často objevují specializace.^{[2]:153–197} Patří mezi ně Withersova podmínka pro silné míchání,^[1][4] Tranova „absolutní pravidelnost v místně přechodném smyslu“^[5] a Birkelova „asymptotická nezávislost kvadrantu“.^[6]

Slabá závislost funguje také jako náhrada za silné míchání.^[7] Zobecnění druhé jsou opět specializací druhé; příkladem je Rosenblatt podmínka míchání.^[8]

Jiná použití zahrnují zobecnění Marcinkiewicz – Zygmundova nerovnost a Rosenthal nerovnosti.^[1]:314,319

Martingales jsou slabě závislí^{[Citace je zapotřebí ]}, tolik výsledků o martingales platí i pro slabě závislé sekvence. Příkladem je Bernstein je vázán na vyšší momenty, které lze uvolnit pouze vyžadovat^[9][10]

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {E} left [X_ {i} mid X_ {1}, dots, X_ {i-1} right] & = 0, operatorname {E } left [X_ {i} ^ {2} mid X_ {1}, dots, X_ {i-1} right] & leq R_ {i} operatorname {E} left [X_ {i} ^ {2} right], operatorname {E} left [X_ {i} ^ {k} mid X_ {1}, dots, X_ {i-1} right] & leq { tfrac {1} {2}} operatorname {E} left [X_ {i} ^ {2} mid X_ {1}, dots, X_ {i-1} right] L ^ {k-2} k! end {zarovnáno}}}$

Viz také

• Teorém centrálního limitu
• Nezávislost náhodných proměnných
• Martingale (teorie pravděpodobnosti)

Reference

externí odkazy

• Příklad inspirující tuto myšlenku
• Aplikace
• Článek o alternativě slabé závislosti