Waring – Goldbachův problém - Waring–Goldbach problem - Wikipedia

The Waring – Goldbachův problém je problém v teorie aditivních čísel, týkající se zastoupení společnosti celá čísla jako součet pravomocí prvočísla. Je pojmenován jako kombinace Waringův problém o součtech sil celých čísel a Goldbachova domněnka o částkách prvočísel. Bylo to zahájeno Hua Luogeng^[1] v roce 1938.

Problémové prohlášení

Ptá se, zda lze velká čísla vyjádřit jako součet, s maximálně konstantním počtem termínů, stejných mocnin prvočísel. To znamená pro každé dané přirozené číslo, k, je pravda, že pro dostatečně velké celé číslo N nutně existuje sada prvočísel, {p₁, p₂, ..., p_t}, takhle N = p₁^k + p₂^k + ... + p_t^k, kde t je nanejvýš nějaká konstantní hodnota?^[2]

Pouzdro, k= 1, je slabší verzí Goldbachova domněnky. Určitého pokroku bylo v těchto případech dosaženo k= 2 až 7.

Heuristické odůvodnění

Podle věta o prvočísle, počet k-tá síla prvočísla níže X je řádu X^1/k/ log XZ toho počet t-termové výrazy se součty ≤X je zhruba X^t/k/ (log X)^tJe rozumné předpokládat, že u nějakého dostatečně velkého počtu t tohle je X-C, tj. všechna čísla až X jsou t-násobné částky k-th pravomoci prvočísel. Tento argument je samozřejmě daleko od přísného důkazu.

Relevantní výsledky

Tato sekce potřebuje expanzi with: Publikované výsledky, které jsou velmi podobné, nebo které pravděpodobně přispějí k jeho případnému prokázání. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Březen 2010)

Ve své monografii^[3] používání a zdokonalování metod Hardy, Littlewood a Vinogradov, Hua Luogeng získává a Ó(k²log k) horní hranice počtu pojmů požadovaných k vystavení všech dostatečně velkých čísel jako součet k-th pravomoci prvočísel.

Každé dostatečně velké liché celé číslo je součtem 21 pátých mocnin prvočísel.^[4]

Reference