Volterra mříž - Volterra lattice

V matematice je Volterra mříž, také známý jako diskrétní KdV rovnice, Mříž Kac – van Moerbekea Langmuirova mříž, je systém obyčejných diferenciálních rovnic s proměnnými indexovanými některými body jednorozměrného bodu mříž. Představili jej Kac a van Moerbeke (1975 ) a Moser (1975 ) a je pojmenován po Vito Volterra. Mříž Volterra je zvláštním případem zobecněná rovnice Lotka – Volterra popisující interakce predátor-kořist pro sekvenci druhů, přičemž každý druh loví další v sekvenci. Mřížka Volterra se také chová jako diskrétní verze KdV rovnice. Mříž Volterra je integrovatelný systém, a souvisí s Toda mříž. Používá se také jako model pro Langmuirovy vlny v plazmě.

Definice

Volterra mřížka je sada obyčejných diferenciálních rovnic pro funkce A_n:

A_n' = A_n(A_n+1 - a_n–1)

kde n je celé číslo. Obvykle se přidávají okrajové podmínky: například funkce A_n může být periodické: A_n = A_n+N pro některé Nnebo mohl zmizet n ≤ 0 a n ≥ N.

Mřížka Volterra byla původně uvedena z hlediska proměnných R_n = –Log A_n v tom případě jsou rovnice

R_n'= e^−R_n–1 - e^−R_n+1

Reference

• Kac, M.; van Moerbeke, P. (1975), „Některé pravděpodobnostní aspekty teorie rozptylu“, v Arthurs, A.M. (vyd.), Funkční integrace a její aplikace (Proc. Internat. Conf., London, 1974), Oxford: Clarendon Press, str.87–96, ISBN  978-0198533467, PAN  0481238
• Kac, M .; van Moerbeke, Pierre (1975), „O výslovně rozpustném systému nelineárních diferenciálních rovnic souvisejících s určitými mřížkami Toda.“, Pokroky v matematice, 16: 160–169, doi:10.1016/0001-8708(75)90148-6, PAN  0369953
• Moser, Jürgen (1975), „Konečně mnoho hmotných bodů na přímce pod vlivem exponenciálního potenciálu - integrovatelného systému.“, Dynamické systémy, teorie a aplikace (Rencontres, Battelle Res. Inst., Seattle, Wash., 1974), Přednášky ve fyz., 38, Berlín: Springer, s. 467–497, doi:10.1007/3-540-07171-7_12, ISBN  978-3-540-07171-6, PAN  0455038