Unistochastická matice - Unistochastic matrix

v matematika, a unistochastická matice (také zvaný unitární-stochastický) je dvojnásobně stochastická matice jejichž položky jsou druhé mocniny absolutních hodnot položek některých unitární matice.

Čtvercová matice B velikosti n je dvojnásobně stochastický (nebo bistochastický), pokud jsou všechny jeho položky nezáporné reálná čísla a každý z jeho řádků a sloupců má součet 1. Je unistochastické, pokud existuje jednotná matice U takhle

${displaystyle B_ {ij} = | U_ {ij} | ^ {2} {ext {for}} i, j = 1, tečky, n.,}$

Tato definice je analogická s definicí pro ortohostochastická matice, což je dvojnásobně stochastická matice, jejíž položky jsou v některých čtvercích položek ortogonální matice. Protože všechny ortogonální matice jsou nutně jednotné matice, jsou všechny ortostochastické matice také unistochastické. Opak však není pravdivý. Za prvé, všechny dvojnásobně stochastické matice 2 na 2 jsou unistochastické i ortohostochastický, ale pro větší n toto není ten případ. Například vezměte ${displaystyle n = 3}$ a zvažte následující dvojnásobně stochastickou matici:

${displaystyle B = {frac {1} {2}} {egin {bmatrix} 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1end {bmatrix}}.}$

Tato matice není unistochastická, protože jakékoli dva vektory s moduly rovnými druhé odmocnině položek dvou sloupců (nebo řádků) B nelze vhodnou fází učinit ortogonální. Pro ${extstyle n> 2}$, sada ortohostochastických matic je a správná podmnožina sady unistochastických matic.

• sada unistochastických matic obsahuje vše permutační matice a jeho konvexní obal je Birkhoffův mnohostěn ze všech dvojnásobně stochastických matic
• pro ${displaystyle ngeq 3}$ tato sada není konvexní
• pro ${displaystyle n = 3}$ množina trojúhelníkové nerovnosti na modulech suroviny je dostatečnou a nezbytnou podmínkou pro unistocasticitu ^[1]
• pro ${displaystyle n = 3}$ sada unistochastických matic je ve tvaru hvězdy a unistochasticita jakékoli bistochastické matrice B je implikována jeho nezápornou hodnotou Jarlskog neměnný ^[2]
• pro ${displaystyle n = 3}$ relativní objem množiny unistochastických matic vzhledem k Birkhoffův mnohostěn dvojnásobně stochastické matice je ^[3] ${displaystyle 8pi ^ {2} / 105 přibližně 75,2 \%}$
• pro ${displaystyle n = 4}$ explicitní podmínky pro unistochasticitu ještě nejsou známy, ale existuje numerická metoda pro ověření unistochasticity na základě algoritmu Haagerup ^[4]

• The Schur-Hornova věta je ekvivalentní následující vlastnosti sady „slabá konvexnost“ ${displaystyle {mathcal {U}} _ {n}}$ unistochastické ${displaystyle n imes n}$ matice: pro libovolný vektor ${displaystyle vin mathbb {R} ^ {n}}$ sada ${displaystyle {mathcal {U}} _ {n} v}$ je konvexní trup množiny vektorů získaný všemi permutacemi záznamů vektoru ${displaystyle v}$ (permutační polytop generovaný vektorem ${displaystyle v}$).
• Sada ${displaystyle n imes n}$ unistochastické matice ${displaystyle {mathcal {U}} _ {n} podmnožina mathbb {R} ^ {(n-1) ^ {2}}}$ má neprázdný interiér. Unistochastická matice odpovídající jednotkové ${displaystyle n imes n}$ matice s položkami ${displaystyle U_ {ij} = delta _ {ij} + {frac {heta -1} {n}}}$, kde ${displaystyle | heta | = 1}$ a ${displaystyle heta eq pm 1}$, je vnitřní bod z ${displaystyle {mathcal {U}} _ {n}}$.

Reference

• Bengtsson, Ingemar; Ericsson, Ása; Kuś, Marek; Tadej, Wojciech; Życzkowski, Karol (2005), „Birkhoffův polytop a unistochastické matice, N = 3 a N = 4“, Komunikace v matematické fyzice, 259 (2): 307–324, arXiv:matematika / 0402325, Bibcode:2005CMaPh.259..307B, doi:10.1007 / s00220-005-1392-8.
• Bengtsson, Ingemar (11.03.2004). „Je důležité být unistochastický“. arXiv:quant-ph / 0403088.
• Karabegov, Alexander (14.06.2008). "Mapování od unitárních k dvojnásobně stochastickým maticím a symbolům na konečné sadě". arXiv:0806.2357.