Věta o transversalitě - Transversality theorem

v diferenciální topologie, věta o transversalitě, také známý jako Věta o transversalitě Thoma po francouzština matematik René Thom, je hlavním výsledkem, který popisuje vlastnosti příčného průniku hladké rodiny hladkých map. Říká to transverzálnost je obecná vlastnost: libovolná plynulá mapa ${ displaystyle f dvojtečka X pravá šipka Y}$, může být deformován libovolným malým množstvím na mapu, která je příčná k danému dílčímu rozměru ${ displaystyle Z subseteq Y}$. Spolu s Konstrukce Pontryagin – Thom, je to technické srdce teorie cobordism a výchozí bod pro teorie chirurgie. Konečněrozměrná verze věty o transverzálnosti je také velmi užitečným nástrojem pro stanovení obecnosti vlastnosti, která je závislá na konečném počtu reálných parametrů a která je vyjádřitelná pomocí systému nelineárních rovnic. To lze rozšířit na nekonečně rozměrnou parametrizaci pomocí nekonečně rozměrné verze věty o transverzitě.

Konečně-rozměrná verze

Předchozí definice

Nechat ${ displaystyle f dvojtečka X pravá šipka Y}$ být plynulá mapa mezi plynulými potrubími a nechat ${ displaystyle Z}$ být podmanifoldem ${ displaystyle Y}$. Říkáme to ${ displaystyle f}$ je příčný k ${ displaystyle Z}$, označeno jako ${ displaystyle f vidle Z}$, právě když pro každého ${ displaystyle x in f ^ {- 1} vlevo (Z vpravo)}$ máme to

${ displaystyle operatorname {im} left (df_ {x} right) + T_ {f left (x right)} Z = T_ {f left (x right)} Y}$.

Důležitý výsledek o transverzálnosti uvádí, že pokud je plynulá mapa ${ displaystyle f}$ je příčný k ${ displaystyle Z}$, pak ${ displaystyle f ^ {- 1} vlevo (Z vpravo)}$ je pravidelným podmanifoldem ${ displaystyle X}$.

Li ${ displaystyle X}$ je potrubí s hranicí, pak můžeme definovat omezení mapy ${ displaystyle f}$ na hranici, as ${ displaystyle částečný f tlustý částečný X pravá šipka Y}$. Mapa ${ displaystyle částečné f}$ je plynulý a umožňuje nám uvést rozšíření předchozího výsledku: pokud obojí ${ displaystyle f vidle Z}$ a ${ displaystyle částečné f vidle Z}$, pak ${ displaystyle f ^ {- 1} vlevo (Z vpravo)}$ je pravidelným podmanifoldem ${ displaystyle X}$ s hranicí a

${ displaystyle částečné f ^ {- 1} doleva (Z doprava) = f ^ {- 1} doleva (Z doprava) čepice částečné X}$.

Věta o parametrické transversalitě

Zvažte mapu ${ displaystyle F dvojtečka X krát S pravá šipka Y}$ a definovat ${ displaystyle f_ {s} left (x right) = F left (x, s right)}$. To generuje rodinu mapování ${ displaystyle f_ {s} dvojtečka X pravá šipka Y}$. Požadujeme, aby se rodina plynule lišila za předpokladu ${ displaystyle S}$ být (hladkým) potrubím a ${ displaystyle F}$ být hladký.

Prohlášení věta o parametrické transversalitě je:

Předpokládejme to ${ displaystyle F dvojtečka X krát S pravá šipka Y}$ je plynulá mapa potrubí, kde pouze ${ displaystyle X}$ má hranici a nech ${ displaystyle Z}$ být jakýmkoli podmanifoldem ${ displaystyle Y}$ bez hranic. Pokud obojí ${ displaystyle F}$ a ${ displaystyle částečné F}$ jsou příčné k ${ displaystyle Z}$, pak téměř pro každého ${ displaystyle s v S}$, oba ${ displaystyle f_ {s}}$ a ${ displaystyle částečné f_ {s}}$ jsou příčné k ${ displaystyle Z}$.

Obecnější věty o transversalitě

Výše uvedená parametrická věta o transversalitě je dostatečná pro mnoho elementárních aplikací (viz kniha od Guillemina a Pollacka).

Existují silnější výroky (souhrnně označované jako věty o transversalitě), které implikují teorém o parametrické transversalitě a jsou potřebné pro pokročilejší aplikace.

„Věta o transverzálnosti“ neformálně uvádí, že množina zobrazení, která jsou příčná k danému dílčímu rozměru, je hustá otevřená (nebo v některých případech pouze hustá ${ displaystyle G _ { delta}}$) podmnožina sady mapování. Aby bylo takové tvrzení přesné, je nutné definovat uvažovaný prostor mapování a jaká je v něm topologie. Existuje několik možností; viz knihu Hirsch.

Co obvykle rozumí Thomova věta o transversalitě je silnější prohlášení o proud transverzálnost. Podívejte se na knihy Hirsch a Golubitsky a Guillemin. Původní odkaz je Thom, Bol. Soc. Rohož. Mexicana (2) 1 (1956), s. 59–71.

John Mather prokázal v 70. letech ještě obecnější výsledek zvaný multijet věta o transversalitě. Podívejte se na knihu od Golubitského a Guillemina.

Nekonečně dimenzionální verze

Nekonečno-dimenzionální verze věty o transversalitě bere v úvahu, že různá potrubí lze modelovat v Banachových prostorech.^{[Citace je zapotřebí ]}

Formální prohlášení

Předpokládejme to ${ displaystyle F dvojtečka X krát S pravá šipka Y}$ je ${ displaystyle C ^ {k}}$ mapa ${ displaystyle C ^ { infty}}$-Banachova potrubí. Předpokládat, že

i) ${ displaystyle X}$, ${ displaystyle S}$ a ${ displaystyle Y}$ jsou neprázdné, měřitelné ${ displaystyle C ^ { infty}}$-Banachova potrubí s mezerami v grafu nad polem ${ displaystyle mathbb {K}}$.

ii) ${ displaystyle C ^ {k}}$-mapa ${ displaystyle F: X krát S rightarrow Y}$ s ${ displaystyle k geq 1}$ má ${ displaystyle y}$ jako běžná hodnota.

iii) Pro každý parametr ${ displaystyle s v S}$, mapa ${ displaystyle f_ {s} left (x right) = F left (x, s right)}$ je Mapa Fredholm, kde ${ displaystyle mathop { mathrm {ind}} Df_ {s} vlevo (x vpravo)$ pro každého ${ displaystyle x in f_ {s} ^ {- 1} left ( left {y right } right)}$.

iv) Konvergence ${ displaystyle s_ {n} rightarrow s}$ na ${ displaystyle S}$ tak jako ${ displaystyle n rightarrow infty}$ a ${ displaystyle F left (x_ {n}, s_ {n} right) = y}$ pro všechny ${ displaystyle n}$ implikuje existenci konvergentní subsekvence ${ displaystyle x_ {n} rightarrow x}$ tak jako ${ displaystyle n rightarrow infty}$ s ${ displaystyle x v X}$.

Pokud předpoklady platí i-iv, pak existuje otevřená, hustá podmnožina ${ displaystyle S_ {0}}$ z ${ displaystyle S}$ takhle ${ displaystyle y}$ je běžná hodnota ${ displaystyle f_ {s}}$ pro každý parametr ${ displaystyle s v S_ {0}}$.

Nyní opravte prvek ${ displaystyle s v S_ {0}}$. Pokud existuje číslo ${ displaystyle n geq 0}$ s ${ displaystyle mathrm {ind} Df_ {s} vlevo (x vpravo) = n}$ pro všechna řešení ${ displaystyle x v X}$ z ${ displaystyle f_ {s} left (x right) = y}$, pak sada řešení ${ displaystyle f_ {s} ^ {- 1} left ( left {y right } right)}$ se skládá z ${ displaystyle n}$-dimenzionální ${ displaystyle C ^ {k}}$-Banachovo potrubí nebo sada řešení je prázdná.

Všimněte si, že pokud ${ displaystyle mathrm {ind} Df_ {s} vlevo (x vpravo) = 0}$ pro všechna řešení ${ displaystyle f_ {s} left (x right) = y}$, pak existuje otevřená hustá podmnožina ${ displaystyle S_ {0}}$ z ${ displaystyle S}$ tak, že pro každý fixní parametr existuje nanejvýš konečně mnoho řešení ${ displaystyle s v S_ {0}}$. Všechna tato řešení jsou navíc pravidelná.

Reference

• Arnold, Vladimír I. (1988). Geometrické metody v teorii obyčejných diferenciálních rovnic. Springer. ISBN  0-387-96649-8.
• Golubitsky, Martin; Guillemin, Victor (1974). Stabilní mapování a jejich singularity. Springer-Verlag. ISBN  0-387-90073-X.
• Guillemin, Victor; Pollack, Alan (1974). Diferenciální topologie. Prentice-Hall. ISBN  0-13-212605-2.
• Hirsch, Morris W. (1976). Diferenciální topologie. Springer. ISBN  0-387-90148-5. Citovat má prázdný neznámý parametr: |1= (Pomoc)
• Thom, René (1954). "Quelques propriétés globales des variétés differentiables". Commentarii Mathematici Helvetici. 28 (1): 17–86. doi:10.1007 / BF02566923.
• Thom, René (1956). "Un lemme sur les applications différentiables". Bol. Soc. Rohož. Mexicana. 2 (1): 59–71.
• Zeidler, Eberhard (1997). Nelineární funkční analýza a její aplikace: Část 4: Aplikace na matematickou fyziku. Springer. ISBN  0-387-96499-1.