Problém se třemi detektory a Newellsova metoda - Three-detector problem and Newells method - Wikipedia

The Problém se třemi detektory^[1] je problém v teorii dopravních toků. Je dána homogenní dálnice a vozidlo se počítá na dvou detekčních stanicích. Hledáme počty vozidel na nějakém mezilehlém místě. Metodu lze použít k detekci a diagnostice incidentů porovnáním pozorovaných a předpovězených dat, proto je důležité realistické řešení tohoto problému. Newell G.F.^[2]^[3]^[4] navrhl jednoduchou metodu řešení tohoto problému. v Newellova metoda, jeden získá kumulativní křivku počtu (N-křivka) libovolného mezilehlého místa pouhým posunem N-křivek před a za detektory. Newellova metoda byl vyvinut předtím, než byla navržena variační teorie dopravního proudu, která se bude systematicky zabývat počty vozidel.^[5]^[6]^[7] Tento článek ukazuje, jak na to Newellova metoda zapadá do kontextu variační teorie.

Zvláštní případ k prokázání Newellovy metody

Předpoklad. V tomto zvláštním případě použijeme trojúhelníkový základní diagram (TFD) se třemi parametry: rychlost volného toku ${ displaystyle v_ {f}}$ , rychlost vlny -w a maximální hustota ${ displaystyle k_ {j}}$ (viz obrázek 1). Kromě toho budeme uvažovat o dlouhém období studie, kdy je provoz kolem detektoru proti proudu (U) neomezený a provoz kolem detektoru za proudem (D) je omezen, takže vlny z obou hranic směřují do prostoru řešení (t, x) (viz obrázek 2) .

Cílem problému se třemi detektory je výpočet vozidla v obecném bodě (P) na „světové linii“ detektoru M (viz obrázek 2). Proti proudu. Od té doby stav proti proudu je nepřetížený, musí existovat charakteristika se sklonem ${ displaystyle v_ {f}}$ který dosáhne P z detektoru proti proudu. Taková vlna musí být vyzařována ${ displaystyle tau _ {1} = L_ {U} / v_ {f}}$ krát dříve, v bodě P 'na obrázku. Od té doby číslo vozidla se podél této charakteristiky nezmění, vidíme, že číslo vozidla na M-detektoru vypočítané z podmínek proti proudu je stejné jako to, které bylo pozorováno u detektoru proti proudu ${ displaystyle tau _ {1}}$ časových jednotek dříve. Od té doby ${ displaystyle tau _ {1}}$ je nezávislá na stavu provozu (je to konstanta), tento výsledek je ekvivalentní k posunutí vyhlazené N-křivky předního detektoru (křivka U na obrázku 3) doprava o částku ${ displaystyle tau _ {1}}$ .

Po proudu. Rovněž, od té doby stav nad dolním detektorem je zařazen do fronty, bude vlna dosahující P z místa ${ displaystyle P_ {2}}$ s vlnovou rychlostí ${ displaystyle -w <0}$ . The změna v označení vozidla podél této charakteristiky lze získat z konstrukce pohybujícího se pozorovatele na obrázku 4, pro pozorovatele pohybujícího se vlnou. V našem konkrétním případě je šikmá čára odpovídající pozorovateli rovnoběžná s přetíženou částí TFD. To znamená, že tok pozorovatele je nezávislý na stavu provozu a nabývá hodnoty: ${ displaystyle k_ {j} (- w)}$ . Proto v čas že je potřeba, aby se vlna dostala do středního umístění, ${ displaystyle tau _ {2} = L_ {D} / (- w)}$ , změna v počet je ${ displaystyle delta = k_ {j} (- w) tau _ {2} = k_ {j} L_ {D}}$ ; tj. změna v počtu se rovná počtu vozidel, která se vejdou mezi M a D při hustotě uvíznutí. Tento výsledek je ekvivalentní k posunutí křivky D doprava ${ displaystyle tau _ {2}}$ jednotky a více ${ displaystyle delta}$ Jednotky.

Skutečný počet na M. S ohledem na Newell-Lukeův minimální princip vidíme, že skutečný počet v M by měl být spodní obálkou U'- a D'-křivek. Toto jsou tmavé křivky, M (t). The křižovatky křivek U'- a D'- označuje průchody šoku přes detektor; tj. časy, kdy přechody mezi stavy ve frontě a ve frontě probíhají, jak fronta postupuje a ustupuje nad prostředním detektorem. The plocha mezi křivkami U'- a M je zpoždění zaznamenané před místem M, časy výletů jsou vodorovná vzdálenost mezi křivkami U (t), M (t) a D (t), nashromáždění je dáno svislými děleními atd.

Matematické vyjádření. Z hlediska funkce N (t, x) a umístění detektoru ( ${ displaystyle x_ {u}}$ , ${ displaystyle x_ {m}}$ , ${ displaystyle x_ {d}}$ ) jak následuje:

{ displaystyle N (t, x_ {m}) = min { N (t-L_ {U} / v_ {f}, x_ {u}) , N (t + L_ {D} / w , x_ {d}) + k_ {j} L_ {D} } qquad (1)}

kde ${ displaystyle L_ {U} = x_ {m} -x_ {u}}$ a ${ displaystyle L_ {D} = x_ {d} -x_ {m}}$ .

Základní principy variační teorie (VT)

Fotbalová branka. Předpokládejme, že my znát počet vozidel (N) podél hranice v časoprostorové oblasti a my jsme hledat počet vozidel v obecném bodě P (označen jako ${ displaystyle N_ {p}}$ ) za touto hranicí ve směru rostoucího času (viz obrázek 5).^[8]

Předpokládejme znovu, že se pozorovatel začne pohybovat z hranice do bodu P podél cesty L. Známe číslo vozidla, které pozorovatel vidí, ${ displaystyle N_ {L}}$ . Poté rozbijeme cestu pozorovatele na malé úseky (jako je ta, která se zobrazuje mezi A a B) a všimneme si, že známe také maximální počet vozidel, která mohou projít pozorovatelem po tomto malém úseku, ${ displaystyle C_ {AB}}$ . Vzorec relativní kapacity nám říká, že je: ${ displaystyle C_ {AB} = r (v ^ {0}) Delta {t}}$ . Pro TFD a použití ${ displaystyle v_ {AB}}$ pro sklon segmentu AB, ${ displaystyle C_ {AB}}$ lze napsat jako:

{ displaystyle C_ {AB} = r (v_ {AB}) Delta {t} = q_ {0} Delta {t} -k_ {0} Delta {x} = q_ {0} (t_ {B} -t_ {A}) - k_ {0} (x_ {B} -x_ {A}); pro v_ {AB} v [-w, v_ {f}] qquad (2)}

Pokud tedy nyní přidáme číslo vozidla na hranici k součtu všech ${ displaystyle C_ {AB}}$ podél cesty L dostaneme horní hranici pro ${ displaystyle N_ {p}}$ . Tato horní hranice platí pro každého pozorovatele, který se pohybuje rychlostí v rozsahu ${ displaystyle [-w, v_ {f}]}$ . Můžeme tedy napsat:

{ displaystyle N_ {P} leq N_ {L} + součet _ {L} (C_ {AB}), v_ {AB} v [-w, v_ {f}] qquad (3)}

Rovnice (1) a (2) jsou založeny na relativním kapacitním omezení, které samo vyplývá ze zákona o zachování.

Maximální princip. Uvádí to ${ displaystyle N_ {P}}$ je největší možná hodnota, s výhradou kapacitních omezení. Recept VT tedy je:

{ displaystyle N_ {P} = min _ {L} {N_ {L} + součet _ {L} (C_ {AB}) } qquad (4)}

Rovnice (4) je problém s nejkratší cestou (tj. Variační počet) ${ displaystyle C_ {AB} = r (v_ {AB})}$ jako nákladová funkce. Ukázalo se, že produkuje stejné řešení jako teorie kinematických vln.

Zobecněné řešení

 Tři kroky: 1. Najděte minimální počet upstreamů,  ${ displaystyle N_ {U}}$  2. Najděte minimální počet po proudu,  ${ displaystyle N_ {D}}$  3. Vyberte nižší ze dvou,  ${ displaystyle N_ {P} = min {N_ {U} , N_ {D} }}$

Krok 1

Všechny možné přímky pozorovatele mezi hranicí proti proudu a bodem P musí být konstruovány s rychlostmi pozorovatele menšími než je rychlost volného toku:

{ displaystyle C_ {QP} = q_ {0} Delta {t} -k_ {0} Delta {x} = q_ {0} (t_ {P} -t_ {Q}) - k_ {0} (x_ {P} -x_ {Q}) qquad (5)}

kde ${ displaystyle Delta {t} = t_ {P} -t_ {Q} = { frac {(x_ {M} -x_ {U})} {v_ {QP}}}}$ pro ${ displaystyle v_ {QP} v [0, v_ {f}]}$ a ${ displaystyle Delta {x} = x_ {M} -x_ {U}}$

Musíme tedy minimalizovat ${ displaystyle {N_ {Q} + q_ {0} (t_ {P} -t_ {Q}) - k_ {0} (x_ {M} -x_ {U})}}$ ; tj.,

{ displaystyle N_ {U} = min _ {t_ {Q}} {N_ {Q} + q_ {0} (t_ {P} -t_ {Q}) - k_ {0} (x_ {M} - x_ {U}) } qquad (6)}

Od té doby ${ displaystyle dN_ {Q} / dt leq q_ {0}}$ , vidíme, že objektivní funkce se neroste, a proto ${ displaystyle t_ {Q} ^ {*} = t_ {P_ {1}}}$ . Q by tedy mělo být umístěno na ${ displaystyle P_ {1}}$ a máme:

{ displaystyle C_ {QP} = C_ {P_ {1} P} = q_ {0} vlevo ({ frac {x_ {M} -x_ {U}} {v_ {f}}} vpravo) -k_ {0} (x_ {M} -x_ {U}) = 0 qquad (7)}

Tím pádem, ${ displaystyle N_ {U} = N_ {P_ {1}}}$

Krok 2

My máme: ${ displaystyle N_ {D} = min _ {Q ^ {'}} {N_ {Q ^ {'}} + C_ {Q ^ {'} P} } = min _ {Q ^ {'} } {N_ {Q ^ {'}} + q_ {0} Delta {t} -k_ {0} Delta {x} }}$ Takže opakujte stejné kroky, které jsme našli ${ displaystyle N_ {D}}$ je minimalizován, když ${ displaystyle Q ^ {'} = P_ {2}}$ . A v bodě ${ displaystyle P_ {2}}$ dostaneme:

{ displaystyle N_ {D} = N_ {P_ {2}} + q_ {0} ({ frac {x_ {D} -x_ {M}} {w}}) - k_ {0} (x_ {D} -x_ {M}) qquad (8)}

Protože FD je trojúhelníkový, ${ displaystyle { frac {q_ {0}} {w}} + k_ {0} = k_ {j}}$ . Proto (8) redukuje na:

{ displaystyle N_ {D} = N_ {P_ {2}} + (x_ {D} -x_ {M}) k_ {j} qquad (9)}

Krok 3

Pro získání řešení si nyní vybereme nižší z ${ displaystyle N_ {U}}$ a ${ displaystyle N_ {D}}$ .

{ displaystyle N_ {P} = min {N_ {U} , N_ {D} } = min {N_ {P_ {1}} , N_ {P_ {2}} + (x_ {D} -x_ {M}) k_ {j} } qquad (10)}

Toto je Newellův recept na problém se 3 detektory.

Viz také

Reference

^ Daganzo, Carlos. 1997. Základy dopravních a dopravních operací. Oxford: Pergamon.
^ Newell, G. F. 1993. „Zjednodušená teorie kinematických vln v dálničním provozu. Část I, Obecná teorie“. Dopravní výzkum. Část B, metodická. 27B (4).
^ Newell, G. F. 1993. "Zjednodušená teorie kinematických vln v dálničním provozu. Část II. Řízení front na úzkých místech dálnice". Dopravní výzkum. Část B, metodická. 27B (4).
^ Newell, G. F. 1993. "Zjednodušená teorie kinematických vln v dálničním provozu. Část III. Vícecílové toky". Dopravní výzkum. Část B, metodická. 27B (4).
^ Daganzo, Carlos F. 2005. „Variační formulace kinematických vln: metody řešení“. Dopravní výzkum. Část B, metodická. 39B (10).
^ Daganzo, Carlos F. 2005. „Variační formulace kinematických vln: základní teorie a komplexní okrajové podmínky“. Dopravní výzkum. Část B, metodická. 39B (2).
^ Daganzo, Carlos F. 2006. „K variační teorii dopravního proudu: dobrá posedlost, dualita a aplikace“. Sítě a heterogenní média. 1 (4).
^ Daganzo, Carlos F. Poznámky k přednášce: Provozování dopravních zařízení. Zkompilovaný nabídkou Grembek

[1] Daganzo, Carlos. 1997. Základy dopravních a dopravních operací. Oxford: Pergamon.

[2] Newell, G. F. 1993. „Zjednodušená teorie kinematických vln v dálničním provozu. Část I, Obecná teorie“. Dopravní výzkum. Část B, metodická. 27B (4).

[3] Newell, G. F. 1993. "Zjednodušená teorie kinematických vln v dálničním provozu. Část II. Řízení front na úzkých místech dálnice". Dopravní výzkum. Část B, metodická. 27B (4).

[4] Newell, G. F. 1993. "Zjednodušená teorie kinematických vln v dálničním provozu. Část III. Vícecílové toky". Dopravní výzkum. Část B, metodická. 27B (4).

[5] Daganzo, Carlos F. 2005. „Variační formulace kinematických vln: metody řešení“. Dopravní výzkum. Část B, metodická. 39B (10).

[6] Daganzo, Carlos F. 2005. „Variační formulace kinematických vln: základní teorie a komplexní okrajové podmínky“. Dopravní výzkum. Část B, metodická. 39B (2).

[7] Daganzo, Carlos F. 2006. „K variační teorii dopravního proudu: dobrá posedlost, dualita a aplikace“. Sítě a heterogenní média. 1 (4).

[8] Daganzo, Carlos F. Poznámky k přednášce: Provozování dopravních zařízení. Zkompilovaný nabídkou Grembek

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]