Termodynamická beta - Thermodynamic beta

SI stupnice převodu teploty / chladu: Teploty v Kelvinově stupnici jsou zobrazeny modře (stupnice Celsia zeleně, stupnice Fahrenheita červeně), hodnoty chladu v gigabajtech na nanojoule jsou zobrazeny černě. Nekonečná teplota (nula chladu) je zobrazena v horní části diagramu; kladné hodnoty chladu / teploty jsou na pravé straně, záporné hodnoty na levé straně.

v statistická termodynamika, termodynamická beta, také známý jako chlad, je reciproční z termodynamická teplota systému:

${ displaystyle beta = { frac {1} {k _ { rm {B}} T}}}$ (kde T je teplota a k_B je Boltzmannova konstanta ).^[1]

To bylo původně představeno v roce 1971 (jako Kältefunktion "funkce chladu") o Ingo Müller [de ], jeden z navrhovatelů racionální termodynamika myšlenkový směr,^[2] na základě dřívějších návrhů na funkci „reciproční teploty“.^[3][4]

Termodynamická beta má jednotky převrácené s jednotkami energie (v SI jednotky, ${ displaystyle [ beta] = { textrm {J}} ^ {- 1}}$). V netermických jednotkách lze měřit také v byte za joule, nebo pohodlněji, gigabajt na nanojoule;^[5] 1 K.⁻¹ odpovídá přibližně 13 062 gigabajtům na nanojoule; pokojová teplota: T = 300 K, β ≈ 44 GB / nJ ≈ 39 eV⁻¹ ≈ 2.4×10²⁰ J⁻¹. Přepočítací koeficient je 1 GB / nJ = ${ displaystyle 8 ln 2 krát 10 ^ {18}}$ J⁻¹.

Popis

Termodynamická beta je v podstatě spojení mezi teorie informace a statistická mechanika interpretace fyzického systému prostřednictvím jeho entropie a termodynamika spojené s jeho energie. Vyjadřuje reakci entropie na zvýšení energie. Pokud je systém vyzván malým množstvím energie, pak β popisuje částku, kterou systém náhodně vybere.

Pomocí statistické definice teploty jako funkce entropie lze funkci chladu vypočítat v mikrokanonický soubor ze vzorce

${ displaystyle beta = { frac {1} {k _ { rm {B}} T}} , = { frac {1} {k _ { rm {B}}}}} vlevo ({ frac { částečné S} { částečné E}} pravé) _ {V, N}}$

(tj parciální derivace entropie S s ohledem na energii E při stálém objemu PROTI a počet částic N).

Výhody

Ačkoli je koncepční obsah zcela ekvivalentní teplotě, β je obecně považována za zásadnější veličinu než teplota vzhledem k jevu negativní teplota, ve kterém β je spojitý, protože prochází nulou, zatímco T má jedinečnost.^[6]

Navíc, β má tu výhodu, že je snadněji kauzálně pochopitelné: Pokud se do systému přidá malé množství tepla, β je přírůstek entropie dělený přírůstkem tepla. Teplota je obtížně interpretovatelná ve stejném smyslu, protože není možné „přidat entropii“ do systému s výjimkou nepřímo úpravou jiných množství, jako je teplota, objem nebo počet částic.

Statistická interpretace

Ze statistického hlediska β je numerická veličina vztahující se k rovnováze dvou makroskopických systémů. Přesná formulace je následující. Zvažte dva systémy, 1 a 2, v tepelném kontaktu s příslušnými energiemi E₁ a E₂. Předpokládáme E₁ + E₂ = nějaká konstanta E. Počet microstates každého systému bude označeno Ω₁ a Ω₂. Podle našich předpokladů Ω_i záleží jen na E_i. Rovněž předpokládáme, že jakýkoli mikrostav systému 1 v souladu s E₁ může koexistovat s jakýmkoli mikrostavem systému 2 v souladu s E₂. Počet mikrostavů pro kombinovaný systém je tedy

${ displaystyle Omega = Omega _ {1} (E_ {1}) Omega _ {2} (E_ {2}) = Omega _ {1} (E_ {1}) Omega _ {2} ( E-E_ {1}). ,}$

Budeme odvodit β z základní předpoklad statistické mechaniky:

Když kombinovaný systém dosáhne rovnováhy, je počet Ω maximalizován.

(Jinými slovy, systém přirozeně hledá maximální počet mikrostavů.) Proto v rovnováze,

${ displaystyle { frac {d} {dE_ {1}}} Omega = Omega _ {2} (E_ {2}) { frac {d} {dE_ {1}}} Omega _ {1} (E_ {1}) + Omega _ {1} (E_ {1}) { frac {d} {dE_ {2}}} Omega _ {2} (E_ {2}) cdot { frac { dE_ {2}} {dE_ {1}}} = 0.}$

Ale E₁ + E₂ = E naznačuje

${ displaystyle { frac {dE_ {2}} {dE_ {1}}} = - 1.}$

Tak

${ displaystyle Omega _ {2} (E_ {2}) { frac {d} {dE_ {1}}} Omega _ {1} (E_ {1}) - Omega _ {1} (E_ { 1}) { frac {d} {dE_ {2}}} Omega _ {2} (E_ {2}) = 0}$

tj.

${ displaystyle { frac {d} {dE_ {1}}} ln Omega _ {1} = { frac {d} {dE_ {2}}} ln Omega _ {2} quad { mbox {při rovnováze.}}}$

Výše uvedený vztah motivuje k definici β:

${ displaystyle beta = { frac {d ln Omega} {dE}}.}$

Propojení statistického pohledu s termodynamickým pohledem

Když jsou dva systémy v rovnováze, mají stejné termodynamická teplota T. Dalo by se tedy intuitivně očekávat β (jak je definováno prostřednictvím microstates) být ve vztahu k T nějakým způsobem. Tento odkaz poskytuje Boltzmannův základní předpoklad psaný jako

${ displaystyle S = k _ { rm {B}} ln Omega, ,}$

kde k_B je Boltzmannova konstanta, S je klasická termodynamická entropie a Ω je počet mikrostavů. Tak

${ displaystyle d ln Omega = { frac {1} {k _ { rm {B}}}} dS.}$

Nahrazení do definice β z výše uvedené statistické definice dává

${ displaystyle beta = { frac {1} {k _ { rm {B}}}} { frac {dS} {dE}}.}$

Srovnání s termodynamickým vzorcem

${ displaystyle { frac {dS} {dE}} = { frac {1} {T}},}$

my máme

${ displaystyle beta = { frac {1} {k _ { rm {B}} T}} = { frac {1} { tau}}}$

kde ${ displaystyle tau}$ se nazývá základní teplota systému a má jednotky energie.

Viz také

• Boltzmannova distribuce
• Kanonický soubor
• Isingův model

Reference