Taylor – zelený vír - Taylor–Green vortex

V dynamice tekutin je Taylor – zelený vír je nestálý tok rozpadajícího se vír, který má přesné uzavřené tvarové řešení nestlačitelného Navier-Stokesovy rovnice v Kartézské souřadnice. Je pojmenována podle britského fyzika a matematika Geoffrey Ingram Taylor a jeho spolupracovník A. E. Green.^[1]

Vektorový graf Taylor-Green Vortex

Originální dílo

V původním díle Taylora a Greena^[1] konkrétní tok je analyzován ve třech prostorových rozměrech se třemi složkami rychlosti ${ displaystyle mathbf {v} = (u, v, w)}$ v čase ${ displaystyle t = 0}$ specifikováno

${ displaystyle u = A cos ax sin by sin cz,}$

${ displaystyle v = B sin ax cos by sin cz,}$

${ displaystyle w = C sin ax sin by cos cz.}$

Rovnice kontinuity ${ displaystyle nabla cdot mathbf {v} = 0}$ to určuje ${ displaystyle Aa + Bb + Cc = 0}$. Malé časové chování toku je pak zjištěno zjednodušením nestlačitelné Navier-Stokesovy rovnice pomocí počátečního toku získáte postupné řešení v průběhu času.

Přesné řešení ve dvou prostorových rozměrech je známé a je uvedeno níže.

Nestlačitelné rovnice Navier-Stokes

The nestlačitelné rovnice Navier-Stokes v nepřítomnosti tělesná síla, a ve dvou prostorových rozměrech, jsou dány

${ displaystyle { frac { částečné u} { částečné x}} + { frac { částečné v} { částečné y}} = 0,}$

${ displaystyle { frac { částečné u} { částečné t}} + u { frac { částečné u} { částečné x}} + v { frac { částečné u} { částečné y}} = - { frac {1} { rho}} { frac { částečné p} { částečné x}} + nu vlevo ({ frac { částečné ^ {2} u} { částečné x ^ { 2}}} + { frac { částečné ^ {2} u} { částečné y ^ {2}}} vpravo),}$

${ displaystyle { frac { částečné v} { částečné t}} + u { frac { částečné v} { částečné x}} + v { frac { částečné v} { částečné y}} = - { frac {1} { rho}} { frac { částečné p} { částečné y}} + nu vlevo ({ frac { částečné ^ {2} v} { částečné x ^ { 2}}} + { frac { částečné ^ {2} v} { částečné y ^ {2}}} vpravo).}$

První z výše uvedených rovnic představuje rovnice spojitosti a další dva představují hybné rovnice.

Taylor-Green vírové řešení

V doméně ${ displaystyle 0 leq x, y leq 2 pi}$, řešení je dáno

${ Displaystyle u = cos x sin y , F (t), qquad qquad v = - sin x cos y , F (t),}$

kde ${ displaystyle F (t) = e ^ {- 2 nu t}}$, ${ displaystyle nu}$ být kinematická viskozita tekutiny. Po analýze Taylora a Greena^[1] pro dvojrozměrnou situaci a pro ${ displaystyle A = a = b = 1}$, dává souhlas s tímto přesným řešením, pokud je exponenciál rozšířen jako a Taylor série, tj. ${ displaystyle F (t) = 1-2 nu t + O (t ^ {2})}$.

Tlakové pole ${ displaystyle p}$ lze získat dosazením řešení rychlosti v rovnicích hybnosti a je dáno vztahem

${ displaystyle p = - { frac { rho} {4}} doleva ( cos 2x + cos 2y doprava) F ^ {2} (t).}$

The funkce streamu řešení Taylor-Green víru, tj. které splňuje ${ displaystyle mathbf {v} = nabla krát { boldsymbol { psi}}}$ pro rychlost proudění ${ displaystyle mathbf {v}}$, je

${ displaystyle { boldsymbol { psi}} = - cos x cos yF (t) , { hat { mathbf {z}}}.}$

Podobně vířivost, což uspokojuje ${ displaystyle { boldsymbol { mathbf { omega}}} = nabla times mathbf {v}}$, darováno

${ displaystyle { boldsymbol { mathbf { omega}}} = - 2 cos x cos y , F (t) { hat { mathbf {z}}}.}$

Řešení Taylor-Green vír lze použít k testování a ověření časové přesnosti Navier-Stokesových algoritmů.^[2][3]

Reference