Subtangens - Subtangent

Subtangens a související pojmy pro křivku (Černá) v daném bodě P. Tečna a normální čáry jsou zobrazeny v zelený a modrý resp. Zobrazené vzdálenosti jsou ordinovat (AP), tečna (TP), subtangens (TA), normální (PN), a podnormální (AN). Úhel φ je úhel sklonu tečny nebo tečného úhlu.

v geometrie, subtangens a související výrazy jsou určité úsečky definované pomocí čáry tečna na křivku v daném bodě a souřadnicové osy. Termíny jsou dnes poněkud archaické, ale byly běžně používány až do počátku 20. století

Definice

Nechat P = (X, y) být bodem na dané křivce s A = (X, 0) jeho projekce na X-osa. Nakreslete dotyčnici ke křivce v P a nechte T být bodem, kde tato přímka protíná X-osa. Pak TA je definován jako subtangens v P. Podobně, pokud je normální ke křivce v P protíná X- osa v N pak AN se nazývá podnormální. V této souvislosti délky PT a PN se nazývají tečna a normální, nesmí být zaměňována s tečna a normální čára, která se také nazývá tečna a normální.

Rovnice

Nechat φ být úhel sklonu tečny vzhledem k X-osa; toto je také známé jako tangenciální úhel. Pak

${ displaystyle tan varphi = { frac {dy} {dx}} = { frac {AP} {TA}} = { frac {AN} {AP}}.}$

Subtangens je

${ displaystyle y cot varphi = { frac {y} { tfrac {dy} {dx}}},}$

a podnormální je

${ displaystyle y tan varphi = y { frac {dy} {dx}}.}$

Normální je dána

${ displaystyle y sec varphi = y { sqrt {1+ left ({ frac {dy} {dx}} right) ^ {2}}},}$

a tečna je dána vztahem

${ displaystyle y csc varphi = { frac {y} { tfrac {dy} {dx}}} { sqrt {1+ left ({ frac {dy} {dx}} right) ^ { 2}}}.}$

Polární definice

Polární subtangens a související koncepty pro křivku (Černá) v daném bodě P. Tečna a normální čáry jsou zobrazeny v zelený a modrý resp. Zobrazené vzdálenosti jsou poloměr (OP), polární subtangens (OT), a polární podnormální (NA). Úhel θ je radiální úhel a úhel incl sklonu tečny k poloměru nebo polárnímu tangenciálnímu úhlu.

Nechat P = (r, θ) je bod na dané křivce definovaný vztahem polární souřadnice a nechte Ó označit původ. Nakreslete čáru Ó který je kolmý na OP a nechte T nyní bude bod, kde tato přímka protíná tečnu ke křivce v P. Podobně nechte N nyní bude bod, kde normála k křivce protíná čáru. Pak OT a NA se nazývají polární subtangens a polární podnormální křivky v P.

Polární rovnice

Nechat ψ být úhel mezi tečnou a paprskem OP; toto je také známé jako polární tangenciální úhel. Pak

${ displaystyle tan psi = { frac {r} { tfrac {dr} {d theta}}} = { frac {OP} {ON}} = { frac {OT} {OP}}. }$

Polární subtangenta tedy je

${ displaystyle r tan psi = { frac {r ^ {2}} { tfrac {dr} {d theta}}},}$

a podnormální je

${ displaystyle r cot psi = { frac {dr} {d theta}}.}$

Reference

• J. Edwards (1892). Diferenciální počet. London: MacMillan and Co. pp.150, 154.

• B. Williamson „Subtangens and Subnormal“ a „Polar Subtangent and Polar Subnormal“ v Základní pojednání o diferenciálním počtu (1899), str. 215, 223 Internetový archiv