Systém bilineárních rovnic - System of bilinear equations

tento článek je sirotek, jako žádné další články odkaz na to. Prosím zavést odkazy na tuto stránku z související články; zkuste Najít odkaz nástroj pro návrhy. (Červenec 2012)

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Listopad 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v algebra, soustavy bilineárních rovnic jsou kolekce rovnic, z nichž každá je psána jako bilineární forma, pro které se hledá společné řešení. Vzhledem k tomu, že jedna sada proměnných je reprezentována jako vektor Xa další reprezentovaný vektorem y, pak systém bilineárních rovnic pro X a y lze psát ${ displaystyle y ^ {T} A_ {i} x = g_ {i}}$. Tady, i je celé číslo jehož hodnota se pohybuje od 1 do nějaké horní hranice r, ${ displaystyle A_ {i}}$ jsou matice a ${ displaystyle g_ {i}}$ jsou některé reálná čísla. Systémy bilineárních rovnic vznikají v mnoha předmětech včetně inženýrství, biologie, a statistika.

Řešení v celých číslech

Zde uvažujeme teorii řešení pro bilineární rovnice v celých číslech. Nechť je daný systém bilineární rovnice

${ displaystyle { begin {alignedat} {2} ax_ {1} x_ {2} + bx_ {1} y_ {2} + cx_ {2} y_ {1} + dy_ {1} y_ {2} & = & alpha ex_ {1} x_ {2} + fx_ {1} y_ {2} + gx_ {2} y_ {1} + hy_ {1} y_ {2} & = & beta end {alignedat}} }$

Tento systém lze zapsat jako

${ displaystyle { begin {bmatrix} a & b & c & d e & f & g & h end {bmatrix}} { begin {bmatrix} x_ {1} x_ {2} x_ {1} y_ {2} y_ {1} x_ {2} y_ {1} y_ {2} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} alpha beta end {bmatrix}}.}$

Jakmile vyřešíme tento lineární systém rovnic, pak pomocí faktorizace pořadí níže můžeme získat řešení pro daný bilineární systém.

${ displaystyle { text {mat}} left ({ begin {bmatrix} x_ {1} x_ {2} x_ {1} y_ {2} y_ {1} x_ {2} y_ {1} y_ {2} end {bmatrix}} right) = { begin {bmatrix} x_ {1} x_ {2} & x_ {1} y_ {2} y_ {1} x_ {2} & y_ {1} y_ {2} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} x_ {1} y_ {1} end {bmatrix}} { begin {bmatrix} x_ {2} & y_ {2} end {bmatrix}}.}$

Nyní vyřešíme první rovnici pomocí Smith normální forma. Vzhledem k jakékoli ${ displaystyle m krát n}$ matice ${ displaystyle A}$, můžeme dostat dvě matice ${ displaystyle U}$ a ${ displaystyle V}$ v ${ displaystyle { mbox {SL}} _ {m} ( mathbb {Z})}$ a ${ displaystyle { mbox {SL}} _ {n} ( mathbb {Z})}$, respektive takové, že ${ displaystyle UAV = D}$, kde ${ displaystyle D}$ je následující:

${ displaystyle D = { begin {bmatrix} d_ {1} & 0 & 0 & ldots & 0 0 & d_ {2} & 0 & ldots & 0 vdots &&& d_ {s} & 0 & 0 & 0 & 0 & ldots & 0 vdots & vdots & vdots & vdots & vdots end {bmatrix}} _ {m times n}}$

kde ${ displaystyle d_ {i}> 0}$ a ${ displaystyle d_ {i} | d_ {i + 1}}$ pro ${ displaystyle i = 1,2, ldots, s-1}$. Vzhledem k systému ${ displaystyle A { textbf {x}} = { textbf {b}}}$, můžeme to přepsat jako ${ displaystyle D { textbf {y}} = { textbf {c}}}$, kde ${ displaystyle V { textbf {y}} = { textbf {x}}}$ a ${ displaystyle { textbf {c}} = U { textbf {b}}}$. Řešení ${ displaystyle D { textbf {y}} = { textbf {c}}}$ je jednodušší jako matice ${ displaystyle D}$ je poněkud diagonální. Jelikož se množíme několika nonsingulárními maticemi, jsou dva systémy rovnic ekvivalentní v tom smyslu, že řešení jednoho systému mají vzájemnou korespondenci s řešeními jiného systému. Řešíme ${ displaystyle D { textbf {y}} = { textbf {c}}}$a vzít ${ displaystyle { textbf {x}} = V { textbf {y}}}$Nechte řešení ${ displaystyle D { textbf {y}} = { textbf {c}}}$ být

${ displaystyle { textbf {y}} = { begin {bmatrix} a_ {1} b_ {1} s t end {bmatrix}}}$

kde ${ displaystyle s, t in mathbb {Z}}$ jsou volná celá čísla a toto jsou všechna řešení ${ displaystyle D { textbf {y}} = { textbf {c}}}$. Takže jakékoli řešení ${ displaystyle A { textbf {x}} = { textbf {b}}}$ je ${ displaystyle V { textbf {y}}}$. Nechat ${ displaystyle V}$ být dán

${ displaystyle V = { begin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} & a_ {14} a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} & a_ {24} a_ {31 } & a_ {32} & a_ {33} & a_ {34} a_ {41} & a_ {42} & a_ {43} & a_ {44} end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} A_ {1} & B_ { 1} C_ {1} a D_ {1} end {bmatrix}}.}$

Pak ${ displaystyle { textbf {x}}}$ je

${ displaystyle M = { text {mat}} ({ textbf {x}}) = { begin {bmatrix} a_ {11} a_ {1} + a_ {12} b_ {1} + a_ {13} s + a_ {14} t & a_ {31} a_ {1} + a_ {32} b_ {1} + a_ {33} s + a_ {34} t a_ {21} a_ {1} + a_ {22} b_ {1} + a_ {23} s + a_ {24} t & a_ {41} a_ {1} + a_ {42} b_ {1} + a_ {43} s + a_ {44} t end {bmatrix}} .}$

Chceme matici ${ displaystyle M}$ mít pořadí 1, aby bylo možné provést faktorizaci uvedenou ve druhé rovnici. Řešení kvadratické rovnice ve 2 proměnných v celých číslech nám dá řešení pro bilineární systém. Tuto metodu lze rozšířit na jakoukoli dimenzi, ale ve vyšších dimenzích se řešení stávají komplikovanějšími. Tento algoritmus lze použít v Šalvěj nebo MATLAB.

Viz také

Soustavy lineárních rovnic

Reference

• Charles R. Johnson, Joshua A. Link „Teorie řešení pro úplné bilineární systémy rovnic“ - http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/nla.676/abstract
• Vinh, Le Anh „O řešitelnosti systémů bilineárních rovnic v konečných polích“ - https://arxiv.org/abs/0903.1156
• Yang Dian 'Teorie řešení pro systém bilineárních rovnic' - https://digitalarchive.wm.edu/handle/10288/13726
• Scott Cohen a Carlo Tomasi. „Systémy bilineárních rovnic“. Technická zpráva, Stanford, CA, USA, 1997.- ftp://reports.stanford.edu/public_html/cstr/reports/cs/tr/97/1588/CS-TR-97-1588.pdf