v matematika the metody symetrizace jsou algoritmy transformace a soubor
na ples
se stejným objemem
a soustředěný na původ. B se nazývá symetrizovaná verze A, obvykle označeno
. Tyto algoritmy se projevují při řešení klasických izoperimetrická nerovnost problém, který se ptá: Vzhledem k tomu, že všechny dvourozměrné tvary dané oblasti mají který z nich minimální obvod (podrobnosti viz Izoperimetrická nerovnost ). Předpokládanou odpovědí byl disk a Steiner v roce 1838 ukázal, že to je pravda, pomocí Steinerovy symetrizační metody (popsané níže). Z toho vyvstalo mnoho dalších izoperimetrických problémů a další symetrizační algoritmy. Například Rayleighova domněnka je první vlastní číslo z Dirichletův problém je pro míč minimalizován (viz Rayleigh – Faber – Krahnova nerovnost pro detaily). Dalším problémem je, že Newtonian kapacita sady A je minimalizováno
a to dokázali Polya a G. Szego (1951) pomocí kruhové symetrizace (popsané níže).
Symetrizace
Li
je měřitelný, pak je označen
symetrizovaná verze
tj. koule
takhle
. Označujeme
the symetrické zmenšující se přeskupení nezáporné měřitelné funkce f a definovat ji jako
, kde
je symetrizovaná verze sady preimage
. Ukázalo se, že níže popsané metody se transformují
na
tj. vzhledem k posloupnosti symetrizačních transformací
tady je
, kde
je Hausdorffova vzdálenost (diskuse a důkazy viz Burchard (2009) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFBurchard2009 (Pomoc))
Steinerova symetrizace
Steinerova symetrizace sady

Steinerova symetrizace byla zavedena Steinerem (1838) k vyřešení výše uvedené izoperimetrické věty. Nechat
být nadrovina přes původ. Otočte prostor tak, aby
je
(
je nta souřadnice v
) nadrovina. Pro každého
nechte kolmou čáru projít
být
. Poté jejich výměnou
přímkou se středem na H as délkou
získáme Steinerovu symetrizovanou verzi.

Označuje to
Steinerova symetrizace do
nadrovina nezáporné měřitelné funkce
a pro pevné
definovat jako

Vlastnosti
- Zachovává konvexnost: pokud
je tedy konvexní
je také konvexní. - Je lineární:
. - Superaditivum:
.
Kruhová symetrizace
Kruhová symetrizace množiny

Populární metodou pro symetrizaci v rovině je Polyova kruhová symetrizace. Poté bude jeho zobecnění popsáno do vyšších dimenzí. Nechat
být doménou; pak jeho kruhová symetrizace
s ohledem na kladnou skutečnou osu je definována takto: Let
![{ displaystyle Omega _ {t}: = { theta v [0,2 pi]: te ^ {i theta} v Omega }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77406da617877e33da1de57e90148a2dd3148209)
tj. obsahují oblouky o poloměru t obsažené v
. Takže je to definováno
- Li
je tedy celý kruh
. - Pokud je délka
, pak
.
iff
.
Ve vyšších dimenzích
, jeho sférická symetrizace
wrt na kladnou osu
je definována takto: Let
tj. obsahují čepičky o poloměru r obsažené v
. Také pro první souřadnici let
-li
. Takže jak je uvedeno výše
- Li
je tedy plná čepice
. - Pokud je povrchová plocha
, pak
a
kde
je vybrán tak, aby jeho povrch byl
. Ve slovech,
je čepička symetrická kolem kladné osy
se stejnou oblastí jako křižovatka
.
iff
.
Polarizace
Polarizace sady

Nechat
být doménou a
být hyperplánem skrz původ. Označte odraz přes tuto rovinu do kladného poloprostoru
tak jako
nebo prostě
když je to jasné z kontextu. Také se odráží
napříč nadrovinou H je definována jako
. Poté polarizovaný
je označen jako
a definováno následovně
- Li
, pak
. - Li
, pak
. - Li
, pak
.
Ve slovech,
se jednoduše odráží do polovičního prostoru
. Ukazuje se, že tato transformace se může přiblížit výše uvedeným (v Hausdorffova vzdálenost ) (viz Brock & Solynin (2000) ).
Reference