Metody symetrizace - Symmetrization methods

v matematika the metody symetrizace jsou algoritmy transformace a soubor ${ displaystyle A podmnožina mathbb {R} ^ {n}}$ na ples ${ displaystyle B podmnožina mathbb {R} ^ {n}}$ se stejným objemem ${ displaystyle operatorname {vol} (B) = operatorname {vol} (A)}$ a soustředěný na původ. B se nazývá symetrizovaná verze A, obvykle označeno ${ displaystyle A ^ {*}}$. Tyto algoritmy se projevují při řešení klasických izoperimetrická nerovnost problém, který se ptá: Vzhledem k tomu, že všechny dvourozměrné tvary dané oblasti mají který z nich minimální obvod (podrobnosti viz Izoperimetrická nerovnost ). Předpokládanou odpovědí byl disk a Steiner v roce 1838 ukázal, že to je pravda, pomocí Steinerovy symetrizační metody (popsané níže). Z toho vyvstalo mnoho dalších izoperimetrických problémů a další symetrizační algoritmy. Například Rayleighova domněnka je první vlastní číslo z Dirichletův problém je pro míč minimalizován (viz Rayleigh – Faber – Krahnova nerovnost pro detaily). Dalším problémem je, že Newtonian kapacita sady A je minimalizováno ${ displaystyle A ^ {*}}$ a to dokázali Polya a G. Szego (1951) pomocí kruhové symetrizace (popsané níže).

Symetrizace

Li ${ displaystyle Omega podmnožina mathbb {R} ^ {n}}$ je měřitelný, pak je označen ${ displaystyle Omega ^ {*}}$ symetrizovaná verze ${ displaystyle Omega}$ tj. koule ${ displaystyle Omega ^ {*}: = B_ {r} (0) podmnožina mathbb {R} ^ {n}}$ takhle ${ displaystyle operatorname {vol} ( Omega ^ {*}) = operatorname {vol} ( Omega)}$. Označujeme ${ displaystyle f ^ {*}}$ the symetrické zmenšující se přeskupení nezáporné měřitelné funkce f a definovat ji jako ${ displaystyle f ^ {*} (x): = int _ {0} ^ { infty} 1 _ { {y: f (y)> t } ^ {*}} (x) , dt}$, kde ${ displaystyle {y: f (y)> t } ^ {*}}$ je symetrizovaná verze sady preimage ${ displaystyle {y: f (y)> t }}$. Ukázalo se, že níže popsané metody se transformují ${ displaystyle Omega}$ na ${ displaystyle Omega ^ {*}}$ tj. vzhledem k posloupnosti symetrizačních transformací ${ displaystyle {T_ {k} }}$ tady je ${ displaystyle lim limity _ {k až infty} d_ {Ha} ( Omega ^ {*}, T_ {k} (K)) = 0}$, kde ${ displaystyle d_ {Ha}}$ je Hausdorffova vzdálenost (diskuse a důkazy viz Burchard (2009) chyba harvtxt: žádný cíl: CITEREFBurchard2009 (Pomoc))

Steinerova symetrizace

Steinerova symetrizace sady ${ displaystyle Omega}$

Steinerova symetrizace byla zavedena Steinerem (1838) k vyřešení výše uvedené izoperimetrické věty. Nechat ${ displaystyle H podmnožina mathbb {R} ^ {n}}$ být nadrovina přes původ. Otočte prostor tak, aby ${ displaystyle H}$ je ${ displaystyle x_ {n} = 0}$ (${ displaystyle x_ {n}}$ je nta souřadnice v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$) nadrovina. Pro každého ${ displaystyle x v H}$ nechte kolmou čáru projít ${ displaystyle x v H}$ být ${ displaystyle L_ {x} = {x + ye_ {n}: y in mathbb {R} }}$. Poté jejich výměnou ${ displaystyle Omega čepice L_ {x}}$ přímkou ​​se středem na H as délkou ${ displaystyle | Omega čepice L_ {x} |}$ získáme Steinerovu symetrizovanou verzi.

${ displaystyle operatorname {St} ( Omega): = {x + ye_ {n}: x + ze_ {n} v Omega { text {pro některé}} z { text {and}} | y | leq { frac {1} {2}} | Omega cap L_ {x} | }.}$

Označuje to ${ displaystyle operatorname {St} (f)}$ Steinerova symetrizace do ${ displaystyle x_ {n} = 0}$ nadrovina nezáporné měřitelné funkce ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {d} to mathbb {R}}$ a pro pevné ${ displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {n-1}}$ definovat jako

${ displaystyle St: f (x_ {1}, ldots, x_ {n-1}, cdot) mapsto (f (x_ {1}, ldots, x_ {n-1}, cdot)) ^ {*}.}$

Vlastnosti

• Zachovává konvexnost: pokud ${ displaystyle Omega}$ je tedy konvexní ${ displaystyle St ( Omega)}$ je také konvexní.
• Je lineární: ${ displaystyle St (x + lambda Omega) = St (x) + lambda St ( Omega)}$.
• Superaditivum: ${ displaystyle St (K) + St (U) podmnožina St (K + U)}$.

Kruhová symetrizace

Kruhová symetrizace množiny ${ displaystyle Omega}$

Populární metodou pro symetrizaci v rovině je Polyova kruhová symetrizace. Poté bude jeho zobecnění popsáno do vyšších dimenzí. Nechat ${ displaystyle Omega podmnožina mathbb {C}}$ být doménou; pak jeho kruhová symetrizace ${ displaystyle operatorname {Circ} ( Omega)}$ s ohledem na kladnou skutečnou osu je definována takto: Let

${ displaystyle Omega _ {t}: = { theta v [0,2 pi]: te ^ {i theta} v Omega }}$

tj. obsahují oblouky o poloměru t obsažené v ${ displaystyle Omega}$. Takže je to definováno

• Li ${ displaystyle Omega _ {t}}$ je tedy celý kruh ${ displaystyle operatorname {Circ} ( Omega) cap {| z | = t }: = {| z | = t }}$.
• Pokud je délka ${ displaystyle m ( Omega _ {t}) = alpha}$, pak ${ displaystyle operatorname {Circ} ( Omega) cap {| z | = t }: = {te ^ {i theta}: | theta | <{ frac { alpha} {2} } }}$.
• ${ displaystyle 0, infty in operatorname {Circ} ( Omega)}$ iff ${ displaystyle 0, infty in Omega}$.

Ve vyšších dimenzích ${ displaystyle Omega podmnožina mathbb {R} ^ {n}}$, jeho sférická symetrizace ${ displaystyle Sp ^ {n} ( Omega)}$ wrt na kladnou osu ${ displaystyle x_ {1}}$ je definována takto: Let${ displaystyle Omega _ {r}: = {x in mathbb {S} ^ {n-1}: rx in Omega }}$ tj. obsahují čepičky o poloměru r obsažené v ${ displaystyle Omega}$. Také pro první souřadnici let ${ displaystyle operatorname {úhel} (x_ {1}): = theta}$ -li ${ displaystyle x_ {1} = rcos theta}$. Takže jak je uvedeno výše

• Li ${ displaystyle Omega _ {r}}$ je tedy plná čepice ${ displaystyle Sp ^ {n} ( Omega) cap {| z | = r }: = {| z | = r }}$.
• Pokud je povrchová plocha ${ displaystyle m_ {s} ( Omega _ {t}) = alpha}$, pak ${ displaystyle Sp ^ {n} ( Omega) cap {| z | = r }: = {x: | x | = r}$ a ${ displaystyle 0 leq operatorname {úhel} (x_ {1}) leq theta _ { alpha} } =: C ( theta _ { alpha})}$ kde ${ displaystyle theta _ { alpha}}$ je vybrán tak, aby jeho povrch byl ${ displaystyle m_ {s} (C ( theta _ { alpha}) = alpha}$. Ve slovech, ${ displaystyle C ( theta _ { alpha})}$ je čepička symetrická kolem kladné osy ${ displaystyle x_ {1}}$ se stejnou oblastí jako křižovatka ${ displaystyle Omega cap {| z | = r }}$.
• ${ displaystyle 0, infty ve Sp ^ {n} ( Omega)}$ iff ${ displaystyle 0, infty in Omega}$.

Polarizace

Polarizace sady ${ displaystyle Omega}$

Nechat ${ displaystyle Omega podmnožina mathbb {R} ^ {n}}$ být doménou a ${ displaystyle H ^ {n-1} podmnožina mathbb {R} ^ {n}}$ být hyperplánem skrz původ. Označte odraz přes tuto rovinu do kladného poloprostoru ${ displaystyle mathbb {H} ^ {+}}$ tak jako ${ displaystyle sigma _ {H}}$ nebo prostě ${ displaystyle sigma}$ když je to jasné z kontextu. Také se odráží ${ displaystyle Omega}$ napříč nadrovinou H je definována jako ${ displaystyle sigma Omega}$. Poté polarizovaný ${ displaystyle Omega}$ je označen jako ${ displaystyle Omega ^ { sigma}}$ a definováno následovně

• Li ${ displaystyle x in Omega cap mathbb {H} ^ {+}}$, pak ${ displaystyle x in Omega ^ { sigma}}$.
• Li ${ displaystyle x in Omega cap sigma ( Omega) cap mathbb {H} ^ {-}}$, pak ${ displaystyle x in Omega ^ { sigma}}$.
• Li ${ displaystyle x in ( Omega setminus sigma ( Omega)) cap mathbb {H} ^ {-}}$, pak ${ displaystyle sigma x in Omega ^ { sigma}}$.

Ve slovech, ${ displaystyle ( Omega setminus sigma ( Omega)) cap mathbb {H} ^ {-}}$ se jednoduše odráží do polovičního prostoru ${ displaystyle mathbb {H} ^ {+}}$. Ukazuje se, že tato transformace se může přiblížit výše uvedeným (v Hausdorffova vzdálenost ) (viz Brock & Solynin (2000) ).

Reference

• Morgan, Frank (2009). "Symetrizace". Vyvolány November 2015. Zkontrolujte hodnoty data v: | accessdate = (Pomoc)
• Burchard, Almut (2009). „Krátký kurz o nerovnostech přeskupení“ (PDF). Vyvolány November 2015. Zkontrolujte hodnoty data v: | accessdate = (Pomoc)

• Kojar, Tomáš (2015). "Brownův pohyb a symetrizace". arXiv:1505.01868.

• Brock, Friedemann; Solynin, Alexander (2000), „Přístup k symetrizaci prostřednictvím polarizace.“, Transakce Americké matematické společnosti, 352: 1759–1796, doi:10.1090 / S0002-9947-99-02558-1, PAN  1695019