Podpora funkční - Supporting functional

v konvexní analýza a matematická optimalizace, podpůrné funkční je zobecněním podpůrná nadrovina sady.

Matematická definice

Nechat X být lokálně konvexní topologický prostor, a ${ displaystyle C podmnožina X}$ být konvexní sada, pak spojité lineární funkční ${ displaystyle phi: X až mathbb {R}}$ je podpůrná funkce C na místě ${ displaystyle x_ {0}}$ -li ${ displaystyle phi not = 0}$ a ${ displaystyle phi (x) leq phi (x_ {0})}$ pro každého ${ displaystyle x v C}$.^[1]

Vztah k podpůrné funkci

Li ${ displaystyle h_ {C}: X ^ {*} to mathbb {R}}$ (kde ${ displaystyle X ^ {*}}$ je dvojí prostor z ${ displaystyle X}$) je podpůrná funkce sady C, pak pokud ${ displaystyle h_ {C} left (x ^ {*} right) = x ^ {*} left (x_ {0} right)}$, z toho vyplývá, že ${ displaystyle h_ {C}}$ definuje podpůrnou funkci ${ displaystyle phi: X až mathbb {R}}$ z C na místě ${ displaystyle x_ {0}}$ takhle ${ displaystyle phi (x) = x ^ {*} (x)}$ pro všechny ${ displaystyle x v X}$.

Vztah k podpoře nadroviny

Li ${ displaystyle phi}$ je podpůrná funkce konvexní sady C na místě ${ displaystyle x_ {0} v C}$ takhle

${ displaystyle phi left (x_ {0} right) = sigma = sup _ {x in C} phi (x)> inf _ {x in C} phi (x)}$

pak ${ displaystyle H = phi ^ {- 1} ( sigma)}$ definuje podpůrnou nadrovinu na C na ${ displaystyle x_ {0}}$.^[2]

Reference