Stanleyova věta o vzájemnosti - Stanleys reciprocity theorem - Wikipedia

v kombinační matematika, Stanleyho věta o vzájemnosti, pojmenoval podle MIT matematik Richard P. Stanley, uvádí, že jisté funkční rovnice je spokojen generující funkce jakéhokoli racionálního kužele (definovaného níže) a generující funkce vnitřku kužele.

Definice

A racionální kužel je množina všech d-n-tice

(A₁, ..., A_d)

z nezáporná celá čísla uspokojující a systém nerovností

${ displaystyle M left [{ begin {matrix} a_ {1} vdots a_ {d} end {matrix}} right] geq left [{ begin {matrix} 0 vdots 0 end {matrix}} right]}$

kde M je matice celých čísel. A d-tuple splňující odpovídající přísný nerovnosti, tj. s ">" spíše než "≥", jsou v interiér kužele.

Generační funkce takového kužele je

${ displaystyle F (x_ {1}, dots, x_ {d}) = sum _ {(a_ {1}, dots, a_ {d}) in { rm {cone}}} x_ {1 } ^ {a_ {1}} cdots x_ {d} ^ {a_ {d}}.}$

Generující funkce F_int(X₁, ..., X_d) vnitřku kužele je definován stejným způsobem, ale jeden je nad d- n-tice v interiéru spíše než v celém kuželu.

Je možné ukázat, že jsou racionální funkce.

Formulace

Stanleyho věta o vzájemnosti uvádí, že pro racionální kužel, jak je uvedeno výše, máme

${ displaystyle F (1 / x_ {1}, tečky, 1 / x_ {d}) = (- 1) ^ {d} F _ { rm {int}} (x_ {1}, tečky, x_ { d}).}$

Matthias Beck a Mike Develin ukázaly, jak to dokázat pomocí počet reziduí. Develin uvedl, že to znamená prokázat výsledek „bez jakékoli práce“.^{[Citace je zapotřebí ]}

Stanleyho věta o vzájemnosti zobecňuje Ehrhart-Macdonaldovu vzájemnost pro Ehrhartovy polynomy racionální konvexní polytopes.

Viz také

• Ehrhartův polynom

Reference

• R.P. Stanley, „Kombinatorické věty o vzájemnosti“, Pokroky v matematice, svazek 14 (1974), strany 194–253.
• M. Beck, M. Develin, Podle Stanleyho věty o vzájemnosti pro racionální kužele, 2004