Na druhou odchylky od průměru - Squared deviations from the mean

Na druhou odchylky od průměru (SDM) jsou zapojeni do různých výpočtů. v teorie pravděpodobnosti a statistika, definice rozptyl je buď očekávaná hodnota SDM (při zvažování teoretického rozdělení ) nebo jeho průměrná hodnota (pro skutečná experimentální data). Výpočty pro analýza rozptylu zahrnovat rozdělení částky SDM.

Úvod

Porozumění použitým výpočtům je výrazně zlepšeno studiem statistické hodnoty

{displaystyle operatorname {E} (X ^ {2})}

, kde

{displaystyle operatorname {E}}

je operátor očekávané hodnoty.

Pro náhodná proměnná ${displaystyle X}$ s průměrem ${displaystyle mu}$ a rozptyl ${displaystyle sigma ^ {2}}$ ,

{displaystyle sigma ^ {2} = operatorname {E} (X ^ {2}) - mu ^ {2}.}

^[1]

Proto,

{displaystyle operatorname {E} (X ^ {2}) = sigma ^ {2} + mu ^ {2}.}

Z výše uvedeného lze odvodit následující:

{displaystyle operatorname {E} left (sum left (X ^ {2} ight) ight) = nsigma ^ {2} + nmu ^ {2},}

{displaystyle operatorname {E} left (left (sum Xight) ^ {2} ight) = nsigma ^ {2} + n ^ {2} mu ^ {2}.}

Rozptyl vzorku

Součet čtverců odchylek potřebných k výpočtu rozptyl vzorku (před rozhodnutím, zda rozdělit podle n nebo n - 1) se nejsnadněji vypočítá jako

{displaystyle S = součet x ^ {2} - {frac {left (součet xight) ^ {2}} {n}}}

Ze dvou odvozených očekávání je nad očekávanou hodnotou této částky

{displaystyle operatorname {E} (S) = nsigma ^ {2} + nmu ^ {2} - {frac {nsigma ^ {2} + n ^ {2} mu ^ {2}} {n}}}

z čehož vyplývá

{displaystyle operatorname {E} (S) = (n-1) sigma ^ {2}.}

To účinně dokazuje použití dělitele n - 1 při výpočtu objektivní odhad vzorku zσ².

Přepážka - analýza rozptylu

V situaci, kdy jsou k dispozici údaje pro k různé léčebné skupiny s velikostí n_i kde i se pohybuje od 1 do k, pak se předpokládá, že očekávaný průměr každé skupiny je

{displaystyle operatorname {E} (mu _ {i}) = mu + T_ {i}}

a rozptyl každé léčené skupiny se nezměnil od rozptylu populace ${displaystyle sigma ^ {2}}$ .

Podle nulové hypotézy, že léčba nemá žádný účinek, pak každá z ${displaystyle T_ {i}}$ bude nula.

Nyní je možné vypočítat tři součty čtverců:

Individuální

{displaystyle I = součet x ^ {2}}

{displaystyle operatorname {E} (I) = nsigma ^ {2} + nmu ^ {2}}

Ošetření

{displaystyle T = součet _ {i = 1} ^ {k} vlevo (vlevo (součet xight) ^ {2} / n_ {i} ight)}

{displaystyle operatorname {E} (T) = ksigma ^ {2} + součet _ {i = 1} ^ {k} n_ {i} (mu + T_ {i}) ^ {2}}

{displaystyle operatorname {E} (T) = ksigma ^ {2} + nmu ^ {2} + 2mu součet _ {i = 1} ^ {k} (n_ {i} T_ {i}) + součet _ {i = 1} ^ {k} n_ {i} (T_ {i}) ^ {2}}

Podle nulové hypotézy, že léčba nezpůsobuje žádné rozdíly a všechny ${displaystyle T_ {i}}$ jsou nulové, očekávání se zjednodušuje na

{displaystyle operatorname {E} (T) = ksigma ^ {2} + nmu ^ {2}.}

Kombinace

{displaystyle C = vlevo (součet xight) ^ {2} / n}

{displaystyle operatorname {E} (C) = sigma ^ {2} + nmu ^ {2}}

Součty čtverců odchylek

Podle nulové hypotézy je rozdíl jakékoli dvojice Já, T, a C neobsahuje žádnou závislost na ${displaystyle mu}$ , pouze ${displaystyle sigma ^ {2}}$ .

{displaystyle operatorname {E} (I-C) = (n-1) sigma ^ {2}}

celkové čtvercové odchylky aka celkový součet čtverců

{displaystyle operatorname {E} (T-C) = (k-1) sigma ^ {2}}

léčba na druhou odchylky aka vysvětlil součet čtverců

{displaystyle operatorname {E} (I-T) = (n-k) sigma ^ {2}}

zbytkové čtvercové odchylky aka zbytkový součet čtverců

Konstanty (n − 1), (k - 1) a (n − k) se běžně označují jako počet stupně svobody.

Příklad

Ve velmi jednoduchém příkladu vychází 5 pozorování ze dvou ošetření. První léčba dává tři hodnoty 1, 2 a 3 a druhá léčba dává dvě hodnoty 4 a 6.

{displaystyle I = {frac {1 ^ {2}} {1}} + {frac {2 ^ {2}} {1}} + {frac {3 ^ {2}} {1}} + {frac {4 ^ {2}} {1}} + {frac {6 ^ {2}} {1}} = 66}

{displaystyle T = {frac {(1 + 2 + 3) ^ {2}} {3}} + {frac {(4 + 6) ^ {2}} {2}} = 12 + 50 = 62}

{displaystyle C = {frac {(1 + 2 + 3 + 4 + 6) ^ {2}} {5}} = 256/5 = 51,2}

Dávat

Celková kvadratická odchylka = 66 - 51,2 = 14,8 se 4 stupni volnosti.

Odchylky léčby na druhou = 62 - 51,2 = 10,8 s 1 stupněm volnosti.

Zbytkové čtvercové odchylky = 66 - 62 = 4 se 3 stupni volnosti.

Obousměrná analýza rozptylu

Následující hypotetický příklad uvádí výnosy 15 rostlin, na které se vztahují dvě různé variace prostředí a tři různá hnojiva.

	Extra CO₂	Extra vlhkost
Žádné hnojivo	7, 2, 1	7, 6
Dusičnan	11, 6	10, 7, 3
Fosfát	5, 3, 4	11, 4

Vypočítá se pět součtů čtverců:

Faktor	Výpočet	Součet	${displaystyle sigma ^ {2}}$
Individuální	${displaystyle 7 ^ {2} + 2 ^ {2} + 1 ^ {2} + 7 ^ {2} + 6 ^ {2} + 11 ^ {2} + 6 ^ {2} + 10 ^ {2} + 7 ^ {2} + 3 ^ {2} + 5 ^ {2} + 3 ^ {2} + 4 ^ {2} + 11 ^ {2} + 4 ^ {2}}$	641	15
Hnojivo × životní prostředí	${displaystyle {frac {(7 + 2 + 1) ^ {2}} {3}} + {frac {(7 + 6) ^ {2}} {2}} + {frac {(11 + 6) ^ { 2}} {2}} + {frac {(10 + 7 + 3) ^ {2}} {3}} + {frac {(5 + 3 + 4) ^ {2}} {3}} + {frac {(11 + 4) ^ {2}} {2}}}$	556.1667	6
Hnojivo	${displaystyle {frac {(7 + 2 + 1 + 7 + 6) ^ {2}} {5}} + {frac {(11 + 6 + 10 + 7 + 3) ^ {2}} {5}} + {frac {(5 + 3 + 4 + 11 + 4) ^ {2}} {5}}}$	525.4	3
životní prostředí	${displaystyle {frac {(7 + 2 + 1 + 11 + 6 + 5 + 3 + 4) ^ {2}} {8}} + {frac {(7 + 6 + 10 + 7 + 3 + 11 + 4) ^ {2}} {7}}}$	519.2679	2
Složený	${displaystyle {frac {(7 + 2 + 1 + 11 + 6 + 5 + 3 + 4 + 7 + 6 + 10 + 7 + 3 + 11 + 4) ^ {2}} {15}}}$	504.6	1

Nakonec součty čtverců odchylek požadovaných pro analýza rozptylu lze vypočítat.

Faktor	Součet	${displaystyle sigma ^ {2}}$	Celkový	životní prostředí	Hnojivo	Hnojivo × životní prostředí	Reziduální
Individuální	641	15	1				1
Hnojivo × životní prostředí	556.1667	6				1	−1
Hnojivo	525.4	3			1	−1
životní prostředí	519.2679	2		1		−1
Složený	504.6	1	−1	−1	−1	1

Na druhou odchylky			136.4	14.668	20.8	16.099	84.833
Stupně svobody			14	1	2	2	9

Viz také

Reference

^ Mood & Graybill: Úvod do teorie statistiky (McGraw Hill)

[1] Mood & Graybill: Úvod do teorie statistiky (McGraw Hill)

[1]