Isingův model se čtvercovou mřížkou - Square lattice Ising model
![]() | tento článek může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby je pochopili. Prosím pomozte to vylepšit na aby to bylo srozumitelné pro neodborníky, aniž by byly odstraněny technické podrobnosti. (Květen 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) |
v statistická mechanika, dvourozměrná čtvercová mříž Isingův model je jednoduchý mřížový model interakce magnetické točení. Tento model je pozoruhodný tím, že má netriviální interakce, přesto má analytické řešení. Model vyřešil Lars Onsager pro zvláštní případ, že vnější magnetické pole H = 0.(Onsager (1944) ) Analytické řešení pro obecný případ pro dosud nebylo nalezeno.
Definice modelu
Zvažte 2D Isingův model na čtvercová mříž s N weby, s periodickými okrajové podmínky v horizontálním i vertikálním směru, což účinně snižuje topologie modelu na a torus. Obecně platí, že horizontální spojka J se nerovná spojce ve svislém směru, J *. Se stejným počtem řádků a sloupců v mřížce bude N každého. Ve smyslu
kde kde T je absolutní teplota a k je Boltzmannova konstanta, funkce oddílu darováno
Kritická teplota
Kritická teplota lze získat z Kramers-Wannierova dualita vztah. Označení volné energie na místo jako , jeden má:
kde
Za předpokladu, že v rovině (K, L) je pouze jedna kritická čára, vztah duality znamená, že je to dáno:
Pro izotropní případ , jeden najde slavný vztah pro kritickou teplotu
Dvojitá mříž
Zvažte konfiguraci otočení na čtvercové mřížce . Nechat r a s označte počet nepodobných sousedů ve svislém a vodorovném směru. Pak dovnitř souhlasí s darováno

Postavte dvojitou mříž jak je znázorněno na obrázku. Pro každou konfiguraci , polygon je spojen s mřížkou nakreslením čáry na okraji dvojité mřížky, pokud jsou rotace oddělené hranou odlišné. Protože přejetím vrcholu otočení se musí změnit sudým počtem opakování, aby se jeden dostal do počátečního bodu se stejným nábojem, každý vrchol dvojité mřížky je spojen se sudým počtem řádků v konfiguraci, což definuje mnohoúhelník.

Tím se snižuje funkce oddílu na
sčítání všech polygonů v duální mřížce, kde r a s jsou počet vodorovných a svislých čar v mnohoúhelníku, s faktorem 2 vyplývajícím z inverze konfigurace rotace.
Nízkoteplotní expanze
Při nízkých teplotách K, L. přiblížit se k nekonečnu, takže jako , aby
definuje expanzi při nízké teplotě .
Vysokoteplotní expanze
Od té doby jeden má
Proto
kde a . Protože tam jsou N vodorovných a svislých okrajů je celkem podmínky v expanzi. Každý člen odpovídá konfiguraci linií mřížky spojením liniové spojky i a j pokud je termín (nebo je vybrán v produktu. Shrnutí přes konfigurace, použití
ukazuje, že pouze konfigurace se sudým počtem řádků na každém vrcholu (polygony) přispějí k funkci oddílu, což
kde součet je přes všechny polygony v mřížce. Protože tanh K.tanh L tak jako , což dává vysokou teplotní roztažnost .
Dvě rozšíření lze spojit pomocí Kramers-Wannierova dualita.
Přesné řešení
Volná energie na místo v limitu je uveden následovně. Definujte parametr tak jako
The Helmholtzova volná energie na stránku lze vyjádřit jako
Pro izotropní případ , z výše uvedeného výrazu najdeme pro vnitřní energii na místo:
a spontánní magnetizace je pro ,
Reference
- Baxter, Rodney J. (1982), Přesně řešené modely ve statistické mechanice (PDF), Londýn: Academic Press Inc. [vydavatelé Harcourt Brace Jovanovich], ISBN 978-0-12-083180-7, PAN 0690578
- K. Binder (2001) [1994], „Ising model“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
- Stephen G. Brush (1967), Historie modelu Lenz-Ising. Recenze moderní fyziky (American Physical Society) sv. 39, str. 883–893. doi:10.1103 / RevModPhys.39,883
- Huang, Kerson (1987), Statistická mechanika (2. vydání)Wiley, ISBN 978-0471815181
- Ising, E. (1925), „Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus“, Z. Phys., 31 (1): 253–258, Bibcode:1925ZPhy ... 31..253I, doi:10.1007 / BF02980577, S2CID 122157319
- Itzykson, Claude; Drouffe, Jean-Michel (1989), Théorie statistique des champs, svazek 1, Savojské akční členy (CNRS ), Edice EDP Sciences, ISBN 978-2868833600
- Itzykson, Claude; Drouffe, Jean-Michel (1989), Teorie statistického pole, svazek 1: Od Brownova pohybu k renormalizaci a teorii mřížky, Cambridge University Press, ISBN 978-0521408059
- Barry M. McCoy a Tai Tsun Wu (1973), Dvourozměrný Isingův model. Harvard University Press, Cambridge, Massachusetts, ISBN 0-674-91440-6
- Montroll, Elliott W .; Potts, Renfrey B .; Ward, John C. (1963), „Korelace a spontánní magnetizace dvourozměrného Isingova modelu“, Journal of Mathematical Physics, 4 (2): 308–322, Bibcode:1963JMP ..... 4..308M, doi:10.1063/1.1703955, ISSN 0022-2488, PAN 0148406, archivovány z originál dne 12. 1. 2013
- Onsager, Larsi (1944), "Krystalová statistika. I. Dvourozměrný model s přechodem poruchy řádu", Phys. Rev., Řada II, 65 (3–4): 117–149, Bibcode:1944PhRv ... 65..117O, doi:10.1103 / PhysRev.65.117, PAN 0010315
- Onsager, Larsi (1949), „Diskuse“, Dodatek Nuovo Cimento, 6: 261
- John Palmer (2007), Planar Ising Correlations. Birkhäuser, Boston, ISBN 978-0-8176-4248-8.
- Yang, C. N. (1952), „Spontánní magnetizace dvourozměrného Isingova modelu“, Fyzický přehled, Řada II, 85 (5): 808–816, Bibcode:1952PhRv ... 85..808Y, doi:10.1103 / PhysRev.85.808, PAN 0051740