Tuhost točení - Spin stiffness

The tuhost točení nebo tuhost rotace nebo modul helicity nebo "hustota supertekutiny„(u bosonů je hustota supertekutiny úměrná tuhosti odstřeďování) je konstanta, která představuje změnu energie základního stavu systému odstřeďování v důsledku zavedení pomalého kroucení otáček v rotacích. Důležitost této konstanty je v jeho použití jako indikátor kvantové fázové přechody —Konkrétně u modelů s přechody kov-izolátor, jako je Mott izolátory. Souvisí to také s jinými topologické invarianty tak jako Berryho fáze a Chernova čísla jako v Kvantový Hallův efekt.

Matematicky

Matematicky to lze definovat následující rovnicí:

${displaystyle ho _ {s} = {cfrac {částečné ^ {2}} {částečné heta ^ {2}}} {cfrac {E_ {0} (heta)} {N}} | _ {heta = 0}}$

kde ${displaystyle E_ {0}}$ je energie základního stavu, ${displaystyle heta}$ je úhel zkroucení a N je počet mřížkových míst.

Tuhost otáčení modelu Heisenberg

Začněte jednoduchým Hamiltonovým otočením Heisenberg:

${displaystyle H_ {mathrm {Heisenberg}} = - Jsum _ {} vlevo [S_ {i} ^ {z} S_ {j} ^ {z} + {cfrac {1} {2}} (S_ {i} ^ {+} S_ {j} ^ {-} + S_ {i} ^ {-} S_ {j} ^ {+}) ight]}$

Nyní zavedeme rotaci v systému v místě i o úhel θ_i kolem osy z:

${displaystyle S_ {i} ^ {+} longrightarrow S_ {i} ^ {+} e ^ {i heta _ {i}}}$

${displaystyle S_ {i} ^ {-} longrightarrow S_ {i} ^ {-} e ^ {- i heta _ {i}}}$

Zapojení zpět do Heisenberg Hamiltonian:

${displaystyle H (heta _ {ij}) = - Jsum _ {} vlevo [S_ {i} ^ {z} S_ {j} ^ {z} + {cfrac {1} {2}} ( S_ {i} ^ {+} e ^ {i heta _ {i}} S_ {j} ^ {-} e ^ {- i heta _ {j}} + S_ {i} ^ {-} e ^ {- i heta _ {i}} S_ {j} ^ {+} e ^ {i heta _ {j}}) ight]}$

nyní nechť θ_ij = θ_i - θ_j a expandovat kolem θ_ij = 0 přes a MacLaurin expanze pouze udržování termínů do druhého řádu v θ_ij

${displaystyle Happrox H_ {mathrm {Heisenberg}} -Jsum _ {} vlevo [heta _ {ij} J_ {ij} ^ {(s)} - {cfrac {1} {2}} heta _ {ij} ^ {2} T_ {ij} ^ {(s)} ight]}$

kde první člen je nezávislý na θ a druhý člen je a rozrušení pro malé θ.

${displaystyle J_ {ij} ^ {s} = {cfrac {i} {2}} (S_ {i} ^ {+} S_ {j} ^ {-} - S_ {i} ^ {-} S_ {j} ^ {+})}$ je složka z operátoru točivého proudu

${displaystyle T_ {ij} = {cfrac {1} {2}} (S_ {i} ^ {+} S_ {j} ^ {-} + S_ {i} ^ {-} S_ {j} ^ {+} )}$ je „spinová kinetická energie“

Zvažte nyní případ identických zvratů, θ_X pouze ty, které existují podél nejbližších sousedních vazeb podél osy x, protože tuhost odstředění souvisí s rozdílem v energii základního stavu o

${displaystyle E (heta) -E (0) = Nho _ {s} heta _ {x} ^ {2}}$

pak pro malé θ_X a pomocí teorie poruch druhého řádu dostaneme:

${displaystyle ho _ {s} = {cfrac {1} {N}} vlevo [{cfrac {1} {2}} jazyk T_ {x} úhel + součet _ {u eq 0} {cfrac {| jazyk 0 | j_ {x} ^ {(s)} | u úhel | ^ {2}} {E_ {u} -E_ {0}}} vpravo]}$

Viz také

• Točivá vlna

Reference

• S.E. Krüger; R. Darradi; J. Richter; D.J.J. Farnell (2006). „Přímý výpočet spinové tuhosti spin- (1/2) Heisenbergova antiferomagnetu na čtvercových, trojúhelníkových a kubických mřížkách pomocí metody sdruženého shluku“. Fyzický přehled B. 73 (9): 094404. arXiv:cond-mat / 0601691. Bibcode:2006PhRvB..73i4404K. doi:10.1103 / PhysRevB.73.094404.
• J. Bonča; J.P.Rodriguez; J. Ferrer; K.S. Bedell (1994). "Přímý výpočet tuhosti rotace pro modely Heisenberg spin-1/2". Fyzický přehled B. 50 (5): 3415–3418. arXiv:cond-mat / 9405069. Bibcode:1994PhRvB..50,3415B. doi:10.1103 / PhysRevB.50.3415. PMID  9976600. S2CID  32495059.
• T. Einarsson; H. J. Schulz (1994). "Přímý výpočet tuhosti rotace v J₁−J₂ Heisenberg Antiferromagnet ". Fyzický přehled B. 51 (9): 6151–6154. arXiv:cond-mat / 9410090v1. Bibcode:1995PhRvB..51.6151E. doi:10.1103 / PhysRevB.51.6151. PMID  9979543. S2CID  22218061.
• B.S. Shastry; B. Sutherland (1990). „Zkroucené okrajové podmínky a efektivní hmotnost v Heisenberg-Isingových a Hubbardových prstencích“. Dopisy o fyzické kontrole. 65 (2): 243–246. Bibcode:1990PhRvL..65..243S. doi:10.1103 / PhysRevLett.65.243. PMID  10042589.
• R.R.P. Singh; D.A. Huse (1989). "Mikroskopický výpočet konstanty spinové tuhosti pro spin-(1/2) čtvercovou mřížku Heisenbergův antiferromagnet". Fyzický přehled B. 40 (10): 7247–7251. Bibcode:1989PhRvB..40.7247S. doi:10.1103 / PhysRevB.40.7247. PMID  9991112.
• R. G. Melko, A. W. Sandvik a D. J. Scalapino 1 (2004). "Dvourozměrný kvantový model XY s prstencovou výměnou a vnějším polem". Fyzický přehled B. 69 (10): 100408–100412. arXiv:cond-mat / 0311080. Bibcode:2004PhRvB..69j0408M. doi:10.1103 / PhysRevB.69.100408. S2CID  119491422.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)