Sommerfeldova expanze - Sommerfeld expansion

A Sommerfeldova expanze je aproximační metoda vyvinutá Arnold Sommerfeld pro určitou třídu integrály které jsou běžné v kondenzovaná hmota a statistická fyzika. Fyzicky integrály představují statistické průměry pomocí Distribuce Fermi – Dirac.

Když inverzní teplota ${displaystyle eta}$ je velké množství, integrál lze rozšířit^[1][2] ve smyslu ${displaystyle eta}$ tak jako

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} {frac {H (varepsilon)} {e ^ {eta (varepsilon -mu)} + 1}}, mathrm {d} varepsilon = int _ {- infty} ^ { mu} H (varepsilon), mathrm {d} varepsilon + {frac {pi ^ {2}} {6}} vlevo ({frac {1} {eta}} ight) ^ {2} H ^ {prime} (mu ) + Oleft ({frac {1} {eta mu}} ight) ^ {4}}$

kde ${displaystyle H ^ {prime} (mu)}$ se používá k označení derivátu ${displaystyle H (varepsilon)}$ hodnoceno na ${displaystyle varepsilon = mu}$ a kde ${displaystyle O (x ^ {n})}$ notace odkazuje na omezující chování řádu ${displaystyle x ^ {n}}$. Rozšíření je platné, pouze pokud ${displaystyle H (varepsilon)}$ zmizí jako ${displaystyle varepsilon ightarrow -infty}$ a nejde rychleji než polynomiálně v ${displaystyle varepsilon}$ tak jako ${displaystyle varepsilon ightarrow infty}$Pokud je integrál od nuly do nekonečna, pak je integrál v prvním členu expanze od nuly do ${displaystyle mu}$ a druhý člen se nezmění.

Aplikace na model volného elektronu

Integrály tohoto typu se často objevují při výpočtu elektronických vlastností, například tepelná kapacita, v model volných elektronů pevných látek. V těchto výpočtech výše uvedený integrál vyjadřuje očekávanou hodnotu veličiny ${displaystyle H (varepsilon)}$. U těchto integrálů pak můžeme identifikovat ${displaystyle eta}$ jako inverzní teplota a ${displaystyle mu}$ jako chemický potenciál. Proto je Sommerfeldova expanze platná pro velké ${displaystyle eta}$ (nízký teplota ) systémy.

Odvození teploty druhého řádu

Hledáme expanzi teploty druhého řádu, tj. Na ${displaystyle au ^ {2}}$, kde ${displaystyle eta ^ {- 1} = au = k_ {B} T}$ je produktem teploty a Boltzmannova konstanta. Začněte změnou proměnných na ${displaystyle au x = varepsilon -mu}$:

${displaystyle I = int _ {- infty} ^ {infty} {frac {H (varepsilon)} {e ^ {eta (varepsilon -mu)} + 1}}, mathrm {d} varepsilon = au int _ {- infty } ^ {infty} {frac {H (mu + au x)} {e ^ {x} +1}}, mathrm {d} x ,,}$

Rozdělte rozsah integrace, ${displaystyle I = I_ {1} + I_ {2}}$a přepsat ${displaystyle I_ {1}}$ pomocí změny proměnných ${displaystyle xightarrow -x}$:

${displaystyle I = underbrace {au int _ {- infty} ^ {0} {frac {H (mu + au x)} {e ^ {x} +1}}, mathrm {d} x} _ {I_ {1 }} + podříznutí {au int _ {0} ^ {infty} {frac {H (mu + au x)} {e ^ {x} +1}}, mathrm {d} x} _ {I_ {2}} ,.}$

${displaystyle I_ {1} = au int _ {- infty} ^ {0} {frac {H (mu + au x)} {e ^ {x} +1}}, mathrm {d} x = au int _ { 0} ^ {infty} {frac {H (mu - au x)} {e ^ {- x} +1}}, mathrm {d} x,}$

Dále použijte algebraický „trik“ na jmenovatele ${displaystyle I_ {1}}$,

${displaystyle {frac {1} {e ^ {- x} +1}} = 1- {frac {1} {e ^ {x} +1}} ,,}$

získat:

${displaystyle I_ {1} = au int _ {0} ^ {infty} H (mu - au x), mathrm {d} x- au int _ {0} ^ {infty} {frac {H (mu - au x )} {e ^ {x} +1}}, mathrm {d} x,}$

Návrat na původní proměnné pomocí ${displaystyle - au mathrm {d} x = mathrm {d} varepsilon}$ v prvním funkčním období ${displaystyle I_ {1}}$. Kombajn ${displaystyle I = I_ {1} + I_ {2}}$ získat:

${displaystyle I = int _ {- infty} ^ {mu} H (varepsilon), mathrm {d} varepsilon + au int _ {0} ^ {infty} {frac {H (mu + au x) -H (mu - au x)} {e ^ {x} +1}}, mathrm {d} x,}$

Čitatel ve druhém členu lze vyjádřit jako aproximaci první poskytnuté derivace ${displaystyle au}$ je dostatečně malý a ${displaystyle H (varepsilon)}$ je dostatečně hladký:

${displaystyle Delta H = H (mu + au x) -H (mu - au x) přibližně 2 au xH '(mu) + cdots ,,}$

získat,

${displaystyle I = int _ {- infty} ^ {mu} H (varepsilon), mathrm {d} varepsilon +2 au ^ {2} H '(mu) int _ {0} ^ {infty} {frac {xmathrm { d} x} {e ^ {x} +1}},}$

Určitý integrál je známý^[3] být:

${displaystyle int _ {0} ^ {infty} {frac {xmathrm {d} x} {e ^ {x} +1}} = {frac {pi ^ {2}} {12}}}$.

Proto,

${displaystyle I = int _ {- infty} ^ {infty} {frac {H (varepsilon)} {e ^ {eta (varepsilon -mu)} + 1}}, mathrm {d} varepsilon cca int _ {- infty} ^ {mu} H (varepsilon), mathrm {d} varepsilon + {frac {pi ^ {2}} {6 eta ^ {2}}} H '(mu),}$

Podmínky vyššího řádu a generující funkce

Můžeme získat členy vyššího řádu v Sommerfeldově expanzi pomocí generující funkce pro momenty Fermiho distribuce. To je dáno

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} {frac {depsilon} {2pi}} e ^ {au epsilon / 2pi} left {{frac {1} {1 + e ^ {eta (epsilon -mu)}} } - heta (-epsilon) ight} = {frac {1} {au}} vlevo {{frac {({frac {au T} {2}})} {sin ({frac {au T} {2}} )}} e ^ {au mu / 2pi} -1ight}, čtyřkolka 0$

Tady ${displaystyle k_ {m {B}} T = eta ^ {- 1}}$ a funkce Heaviside step ${displaystyle - heta (-epsilon)}$ odečte rozdílný příspěvek nulové teploty. Rozšiřování pravomocí ${displaystyle au}$ dává například ^[4]

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} {frac {depsilon} {2pi}} left {{frac {1} {1 + e ^ {eta (epsilon -mu)}}} - heta (-epsilon) ight } = vlevo ({frac {mu} {2pi}} vpravo),}$

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} {frac {depsilon} {2pi}} vlevo ({frac {epsilon} {2pi}} vpravo) vlevo {{frac {1} {1 + e ^ {eta (epsilon -mu)}}} - heta (-epsilon) ight} = {frac {1} {2!}} vlevo ({frac {mu} {2pi}} ight) ^ {2} + {frac {T ^ {2 }} {4!}},}$

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} {frac {depsilon} {2pi}} {frac {1} {2!}} vlevo ({frac {epsilon} {2pi}} vpravo) ^ {2} vlevo { {frac {1} {1 + e ^ {eta (epsilon -mu)}}} - heta (-epsilon) ight} = {frac {1} {3!}} vlevo ({frac {mu} {2pi}} ight) ^ {3} + vlevo ({frac {mu} {2pi}} ight) {frac {T ^ {2}} {4!}},}$

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} {frac {depsilon} {2pi}} {frac {1} {3!}} vlevo ({frac {epsilon} {2pi}} vpravo) ^ {3} vlevo { {frac {1} {1 + e ^ {eta (epsilon -mu)}}} - heta (-epsilon) ight} = {frac {1} {4!}} vlevo ({frac {mu} {2pi}} ight) ^ {4} + {frac {1} {2!}} vlevo ({frac {mu} {2pi}} ight) ^ {2} {frac {T ^ {2}} {4!}} + { frac {7} {8}} {frac {T ^ {4}} {6!}},}$

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} {frac {depsilon} {2pi}} {frac {1} {4!}} vlevo ({frac {epsilon} {2pi}} vpravo) ^ {4} vlevo { {frac {1} {1 + e ^ {eta (epsilon -mu)}}} - heta (-epsilon) ight} = {frac {1} {5!}} vlevo ({frac {mu} {2pi}} ight) ^ {5} + {frac {1} {3!}} vlevo ({frac {mu} {2pi}} ight) ^ {3} {frac {T ^ {2}} {4!}} + vlevo ({frac {mu} {2pi}} ight) {frac {7} {8}} {frac {T ^ {4}} {6!}},}$

${displaystyle int _ {- infty} ^ {infty} {frac {depsilon} {2pi}} {frac {1} {5!}} vlevo ({frac {epsilon} {2pi}} vpravo) ^ {5} vlevo { {frac {1} {1 + e ^ {eta (epsilon -mu)}}} - heta (-epsilon) ight} = {frac {1} {6!}} vlevo ({frac {mu} {2pi}} ight) ^ {6} + {frac {1} {4!}} vlevo ({frac {mu} {2pi}} ight) ^ {4} {frac {T ^ {2}} {4!}} + { frac {1} {2!}} vlevo ({frac {mu} {2pi}} ight) ^ {2} {frac {7} {8}} {frac {T ^ {4}} {6!}} + {frac {31} {24}} {frac {T ^ {6}} {8!}}.}$

Podobná generující funkce pro liché momenty funkce Bose je ${displaystyle int _ {0} ^ {infty} {frac {depsilon} {2pi}} sinh (epsilon au / pi) {frac {1} {e ^ {eta epsilon} -1}} = {frac {1} { 4 au}} vlevo {1- {frac {au T} {an au T}} vpravo}, čtyřkolka 0$

Poznámky

Reference

• Sommerfeld, A. (1928). „Zur Elektronentheorie der Metalle auf Grund der Fermischen Statistik“. Zeitschrift für Physik. 47 (1–2): 1–3. Bibcode:1928ZPhy ... 47 .... 1S. doi:10.1007 / BF01391052. S2CID  116911592.
• Ashcroft, Neil W .; Mermin, N. David (1976). Fyzika pevných látek. Thomson učení. p.760. ISBN  978-0-03-083993-1.CS1 maint: ref = harv (odkaz)