Hladký krok - Smoothstep - Wikipedia

Graf funkcí smoothstep (x) a smootherstep (x) s použitím 0 jako levého okraje a 1 jako pravého okraje

Hladký krok je rodina sigmoidní interpolace a upínání funkce běžně používané v počítačová grafika[1][2], motory videoher[3], a strojové učení[4].

Funkce závisí na třech parametrech, vstupu X, „levý okraj“ a „pravý okraj“, přičemž se předpokládá, že levý okraj je menší než pravý okraj. Funkce přijímá reálné číslo X jako argument a vrátí 0, pokud X je menší nebo rovný levému okraji, 1 je-li x větší nebo rovno pravému okraji, a plynule interpoluje pomocí Poustevnický polynom, mezi 0 a 1 jinak. Přechod hladký krok funkce je na obou okrajích nulová. To je výhodné pro vytvoření sekvence přechodů pomocí hladký krok interpolovat každý segment jako alternativu k použití sofistikovanějších nebo nákladnějších interpolačních technik.

v HLSL a GLSL, hladký krok realizuje , kubický Hermitova interpolace po upínání:

Za předpokladu, že levá hrana je 0, pravá hrana je 1, přičemž přechod mezi hranami probíhá tam, kde 0 ≤ X ≤ 1.

Ukázková implementace C / C ++ poskytovaná společností AMD[5] následuje.

plovák hladký krok(plovák edge0, plovák edge1, plovák X) {  // Měřítko, zkreslení a saturace x na rozsah 0..1  X = svorka((X - edge0) / (edge1 - edge0), 0.0, 1.0);   // Vyhodnocení polynomu  vrátit se X * X * (3 - 2 * X);}plovák svorka(plovák X, plovák spodní limit, plovák horní limit) {  -li (X < spodní limit)    X = spodní limit;  -li (X > horní limit)    X = horní limit;  vrátit se X;}

Obecný formulář pro hladký krok, opět za předpokladu, že levý okraj je 0 a pravý okraj je 1, je

je totožný s upínací funkce:

Charakteristická sigmoidní křivka ve tvaru písmene "S" se získá s pouze pro celá čísla n ≥ 1. Pořadí polynomu v obecném hladkém kroku je 2n + 1. S n = 1, sklon nebo první derivace hladký krok se rovnají nule na levém a pravém okraji (X = 0 a X = 1), kde je křivka připojena ke konstantě nebo nasycený úrovně. S vyšším celým číslem n, druhá a vyšší derivace jsou na okrajích nulové, takže polynomiální funkce jsou co nejplošší a spoj k mezním hodnotám 0 nebo 1 je plynulejší.

Variace

Ken Perlin navrhuje[6] vylepšená verze funkce smoothstep, která má nulu 1. a 2. řádu deriváty na X = 0 a X = 1:

Referenční implementace C / C ++:

plovák hladší krok(plovák edge0, plovák edge1, plovák X) {  // Měřítko a upněte x na rozsah 0..1  X = svorka((X - edge0) / (edge1 - edge0), 0.0, 1.0);  // Vyhodnocení polynomu  vrátit se X * X * X * (X * (X * 6 - 15) + 10);}plovák svorka(plovák X, plovák spodní limit, plovák horní limit) {  -li (X < spodní limit)    X = spodní limit;  -li (X > horní limit)    X = horní limit;  vrátit se X;}

Původ

Rovnice 3. řádu

Počínaje obecným třetím řádem polynomiální funkce a její první derivát:

Použití požadovaných hodnot pro funkci v obou koncových bodech:

Aplikování požadovaných hodnot pro první derivaci funkce v obou koncových bodech:

Řešení soustavy 4 neznámých tvořené posledními 4 rovnicemi vede k hodnotám polynomiálních koeficientů:

To má za následek třetího řádu "smoothstep" funkce:

Rovnice 5. řádu

Počínaje obecnou pátou objednávkou polynomiální funkce, její první derivace a její druhá derivace:

Použití požadovaných hodnot pro funkci v obou koncových bodech:

Aplikování požadovaných hodnot pro první derivaci funkce v obou koncových bodech:

Aplikování požadovaných hodnot pro druhou derivaci funkce v obou koncových bodech:

Řešení systému 6 neznámých vytvořených posledními 6 rovnicemi vede k hodnotám polynomiálních koeficientů:

Výsledkem je pátý řád "hladší krok" funkce:

Rovnice 7. řádu

Použitím podobných technik se zjistí, že rovnice 7. řádu je:

Zobecnění na rovnice vyššího řádu

Hladké polynomy jsou zobecněny s 0 ≤ X ≤ 1 as

kde N určuje pořadí výsledné polynomiální funkce, které je 2N + 1. Prvních sedm hladkých polynomů s 0 ≤ X ≤ 1, jsou

Je možné ukázat, že polynomy s hladkým krokem ten přechod z 0 na 1, když X přechody od 0 do 1 lze jednoduše namapovat na lichá symetrie polynomy

kde

a

Argument R.N(X) je −1 ≤ X ≤ 1 a připojuje se ke konstantě −1 nalevo a +1 napravo.

Implementace ve skriptu Javascript:[7]

// Zobecněný hladký krokfunkce generalSmoothStep(N, X) {  X = svorka(X, 0, 1); // x musí být rovno nebo mezi 0 a 1  var výsledek = 0;  pro (var n = 0; n <= N; ++n)    výsledek += pascalTriangle(-N - 1, n) *              pascalTriangle(2 * N + 1, N - n) *              Matematika.prášek(X, N + n + 1);  vrátit se výsledek;}// Vrací binomický koeficient bez explicitního použití faktoriálů,// které nelze použít se zápornými celými číslyfunkce pascalTriangle(A, b) {  var výsledek = 1;   pro (var i = 0; i < b; ++i)    výsledek *= (A - i) / (i + 1);  vrátit se výsledek;}funkce svorka(X, spodní limit, horní limit) {  -li (X < spodní limit)    X = spodní limit;  -li (X > horní limit)    X = horní limit;  vrátit se X;}

Inverzní Smoothstep

Inverzní metoda smoothstep () může být užitečná při provádění určitých operací v počítačové grafice, kdy je třeba její účinek zvrátit nebo kompenzovat. V případě rovnice 3. řádu existuje analytické řešení inverzní funkce, které je:

To vzniká jako inverzní k , jehož Řada Maclaurin končí v , význam a vyjádřit stejnou funkci. Sériová expanze inverze naopak nekončí.

V GLSL:

plovák inverse_smoothstep(plovák X) {  vrátit se 0.5 - hřích(jako v(1.0 - 2.0 * X) / 3.0);}

Reference

  1. ^ Smoothstep ve společnosti Microsoft Developer Network.
  2. ^ GLSL Language Specification, verze 1.40.
  3. ^ Unity game engine SmoothStep dokumentace.
  4. ^ Hazimeh, Husajn; Ponomareva, Natalia; Mol, Petros; Tan, Zhenyu; Mazumder, Rahul (2020). The Tree Ensemble Layer: Differentiability meets Conditional Computation (PDF). Mezinárodní konference o strojovém učení. PMLR.
  5. ^ Stínovače pixelů ATI R3x0.
  6. ^ Texturování a modelování, třetí vydání: Procedurální přístup.
  7. ^ Obecná rovnice hladkého kroku.

externí odkazy