Sinkhornsova věta - Sinkhorns theorem - Wikipedia

Sinkhornova věta uvádí, že každý čtvercová matice s kladnými položkami lze psát v určité standardní formě.

Teorém

Li A je n × n matice s přísně pozitivními prvky, pak existují diagonální matice D₁ a D₂ s přísně pozitivními diagonálními prvky, jako jsou tyto D₁INZERÁT₂ je dvojnásobně stochastický. Matice D₁ a D₂ jsou jedinečné modulo, které vynásobí první matici kladným číslem a druhou vydělí stejným číslem. ^[1][2]

Algoritmus Sinkhorn-Knopp

Jednoduchou iterativní metodou pro přístup k dvojité stochastické matici je střídavé škálování všech řádků a všech sloupců A shrnout na 1. Sinkhorn a Knopp představili tento algoritmus a analyzovali jeho konvergenci.^[3]

Analogy a rozšíření

Následující analogie pro unitární matice také platí: pro každou unitární matice U existují dvě diagonální jednotné matice L a R takhle LUR má každý ze svých sloupců a řádků součet 1.^[4]

Platí také následující rozšíření map mezi maticemi (viz věta 5^[5] a také věta 4.7^[6]): daný a Operátor Kraus což představuje kvantovou operaci Φ mapující a matice hustoty do jiného,

${ displaystyle S až Phi (S) = součet _ {i} B_ {i} SB_ {i} ^ {*},}$

to je zachování stopy,

${ displaystyle sum _ {i} B_ {i} ^ {*} B_ {i} = já,}$

a navíc, jehož rozsah je uvnitř pozitivního konečného kužele (přísná pozitivita), existují škálování X_j, pro j v {0,1}, které jsou kladně definitivní, takže se změnilo měřítko Operátor Kraus

${ displaystyle S až x_ {1} Phi (x_ {0} ^ {- 1} Sx_ {0} ^ {- 1}) x_ {1} = součet _ {i} (x_ {1} B_ { i} x_ {0} ^ {- 1}) S (x_ {1} B_ {i} x_ {0} ^ {- 1}) ^ {*}}$

je dvojnásobně stochastický. Jinými slovy je to tak, že oba,

${ displaystyle x_ {1} Phi (x_ {0} ^ {- 1} Ix_ {0} ^ {- 1}) x_ {1} = já,}$

stejně jako pro adjunkt,

${ displaystyle x_ {0} ^ {- 1} Phi ^ {*} (x_ {1} Ix_ {1}) x_ {0} ^ {- 1} = já,}$

kde označuji operátora identity.

Reference