Šafarevič – Weilova věta - Shafarevich–Weil theorem

v algebraická teorie čísel, Šafarevič – Weilova věta se týká základní třídy a Galoisovo rozšíření místních nebo globálních polí na příponu Galoisovy skupiny. To bylo představeno Shafarevich  (1946 ) pro místní pole a Weil  (1951 ) pro globální pole.

Prohlášení

Předpokládejme to F je globální pole, K. je normální rozšíření F, a L je abelian rozšíření K.. Pak skupina Galois Gal (L/F) je rozšířením skupiny Gal (K./F) abelianskou skupinou Gal (L/K.), a toto rozšíření odpovídá prvku kohomologické skupiny H2(Gal (K./F), Gal (L/K.)). Na druhou stranu, teorie třídního pole dává základní třídu v H2(Gal (K./F),JáK.) a mapa zákona o vzájemnosti z JáK. do Gal (L/K.). Věta Shafarevich-Weil říká, že třída rozšíření Gal (L/F) je obraz základní třídy pod homomorfismem kohomologických skupin vyvolaný mapou zákona o vzájemnosti (Artin & Tate 2009, str. 246).

Šafarevič uvedl svou teorém pro místní pole spíše z hlediska dělících algeber než základní třídy (Weil 1967 ). V tomto případě s L maximální abelianské rozšíření K., rozšíření Gal (L/F) odpovídá podle mapy vzájemnosti normalizátoru z K. v divizní algebře stupně [K.:F] přes F, a Shafarevichova věta uvádí, že Hasseův invariant této algebry dělení je 1 / [K.:F]. Vztah k předchozí verzi věty je ten, že dělící algebry odpovídají prvkům druhé kohomologické skupiny (Brauerova skupina) a v rámci této korespondence dělící algebra s Hasseovým invariantem 1 / [K.:F] odpovídá základní třídě.

Reference

  • Artin, Emil; Tate, Johne (2009) [1952], Teorie pole třídy, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, ISBN  978-0-8218-4426-7, PAN  0223335
  • Shafarevich, I. R. (1946), "On Galois groups of p-adic fields.", C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N.S.), 53: 15–16, PAN  0018170 Přetištěno v jeho shromážděných pracích, strany 4–5
  • Weil, André (1951), „Sur la theorie du corps de classes“, Journal of the Mathematical Society of Japan, 3: 1–35, doi:10.2969 / jmsj / 00310001, ISSN  0025-5645, PAN  0044569, přetištěno v objemu I jeho sebraných papírů, ISBN  0-387-90330-5
  • Weil, André (1967), „Dodatek III: Shafarevitchova věta“, Základní teorie čísel., Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 144, Springer-Verlag New York, Inc., New York, s. 301–307, ISBN  3-540-58655-5, PAN  0234930