Setoid - Setoid - Wikipedia
v matematika, a setoid (X, ~) je a soubor (nebo typ ) X vybaven vztah ekvivalence ~. Může být také nazýván Setoid E-set, Biskup soubornebo prodlužovací sada.[1]
Setoidy jsou studovány zejména v teorie důkazů a v teoretický typ základy matematiky. Často v matematice, když člověk definuje vztah ekvivalence na množině, okamžitě vytvoří množina kvocientu (přeměna ekvivalence na rovnost ). Naproti tomu setoidy mohou být použity, když musí být zachován rozdíl mezi identitou a rovnocenností, často s výkladem intenzionální rovnost (rovnost v původní sadě) a extenzní rovnost (vztah ekvivalence nebo rovnost v množině kvocientů).
Teorie důkazů
V teorii důkazů, zejména v teorii důkazů o konstruktivní matematika založeno na Curry – Howardova korespondence, jeden často identifikuje matematický tvrzení s jeho sadou důkazy (jestli nějaký). Daná věta může mít samozřejmě mnoho důkazů; podle principu důkaz irelevance, obvykle záleží pouze na pravdivosti tvrzení, nikoli na tom, který důkaz byl použit. Korespondence Curry – Howard však může změnit důkazy algoritmy a rozdíly mezi algoritmy jsou často důležité. Teoretici důkazů tedy mohou upřednostňovat ztotožnění nabídky s a setoid důkazů, přičemž lze považovat důkazy za rovnocenné, pokud je lze převést na jeden jiný prostřednictvím beta konverze nebo podobně.
Teorie typů
V teoretických základech matematiky mohou být setoidy použity v teorii typů, která postrádá typy kvocientů modelovat obecné matematické množiny. Například v Per Martin-Löf je intuicionistická teorie typů, neexistuje žádný typ reálná čísla, pouze typ pravidelné Cauchyovy sekvence z racionální čísla. Dělat skutečná analýza v rámci Martin-Löfa proto musíme pracovat s a setoid reálných čísel, typ regulárních Cauchyových sekvencí vybavených obvyklým pojmem ekvivalence. Predikáty a funkce reálných čísel je třeba definovat pro pravidelné Cauchyovy posloupnosti a prokázat, že jsou kompatibilní s ekvivalenčním vztahem. Typicky (i když to závisí na použité teorii typů), axiom volby bude platit pro funkce mezi typy (intenzivní funkce), ale ne pro funkce mezi setoidy (extenzní funkce).[je zapotřebí objasnění ] Pojem „množina“ se různě používá buď jako synonymum „typu“, nebo jako synonymum pro „setoid“.[2]
Konstruktivní matematika
v konstruktivní matematika, jeden často bere setoid s vztah oddělenosti místo vztahu ekvivalence, nazývaného a konstruktivní setoid. Jeden někdy také zvažuje a částečný setoid pomocí a vztah částečné ekvivalence nebo částečná odloučenost. (viz např. Barthe et al., sekce 1)
Viz také
Poznámky
- ^ Alexandre Buisse, Peter Dybjer, „Interpretace intuitivní teorie typu v lokálně kartézských uzavřených kategoriích - intuitivní perspektiva“, Elektronické poznámky v teoretické informatice 218 (2008) 21–32.
- ^ „Bishopova teorie množin“ (PDF): 9. Citovat deník vyžaduje
| deník =(Pomoc)
Reference
- Hofmann, Martin (1995), „Jednoduchý model pro typy kvocientů“, Zadané lambda kameny a aplikace (Edinburgh, 1995), Poznámky k přednášce ve Výpočtu. Sci., 902, Berlín: Springer, s. 216–234, CiteSeerX 10.1.1.55.4629, doi:10.1007 / BFb0014055, ISBN 978-3-540-59048-4, PAN 1477985.
- Barthe, Gilles; Capretta, Venanzio; Pons, Olivier (2003), "Setoidy v teorii typů" (PDF), Journal of Functional Programming, 13 (2): 261–293, doi:10.1017 / S0956796802004501, PAN 1985376.