Sethi model - Sethi model

The Sethi model byl vyvinut společností Suresh P. Sethi a popisuje proces vývoje prodejů v čase v reakci na reklamní.^[1][2] Míra změny prodeje závisí na třech účincích: reakci na reklamu, která působí pozitivně na neprodanou část trhu, ztrátu v důsledku zapomenutí nebo případně v důsledku konkurenčních faktorů, které působí negativně na prodanou část trhu, a náhodné efekt, který může jít oběma směry.

Suresh Sethi v roce 1983 publikoval příspěvek „Deterministická a stochastická optimalizace dynamického reklamního modelu“.^[1] Model Sethi je modifikací i stochastickým rozšířením reklamního modelu Vidale-Wolfe.^[3] Model a jeho konkurenční rozšíření byla v literatuře hojně využívána.^{[4][5][6][7][8][9][10][11][12][13][14][15][16][17][18][19][20][21] [22] [23][24] [25] [26] [27][28]}Některé z těchto rozšíření byly navíc testovány empiricky.^[6][9][12]

Modelka

Sethiho reklamní model nebo jednoduše Sethiho model poskytuje dynamiku prodeje a reklamy v podobě následujícího stochastická diferenciální rovnice:

${displaystyle dX_ {t} = left (rU_ {t} {sqrt {1-X_ {t}}} - delta X_ {t} ight), dt + sigma (X_ {t}), dz_ {t}, qquad X_ {0} = x}$.

Kde:

• ${displaystyle X_ {t}}$ je podíl na trhu v čase ${displaystyle t}$
• ${displaystyle U_ {t}}$ je rychlost reklamy v čase ${displaystyle t}$
• ${displaystyle r}$ je koeficient efektivity reklamy
• ${displaystyle delta}$ je rozpadová konstanta
• ${displaystyle sigma (X_ {t})}$ je difúzní koeficient
• ${displaystyle z_ {t}}$ je Wienerův proces (Standard Brownův pohyb ); ${displaystyle dz_ {t}}$ je známý jako bílý šum.

Vysvětlení

Rychlost změny prodeje závisí na třech účincích: reakce na reklamu, která pozitivně působí na neprodanou část trhu prostřednictvím ${displaystyle r}$, ztráta v důsledku zapomenutí nebo případně v důsledku konkurenčních faktorů, které působí negativně na prodanou část trhu prostřednictvím ${displaystyle delta}$, a náhodný efekt využívající výraz difúze nebo bílý šum, který může jít oběma směry.

• Koeficient ${displaystyle r}$ je koeficient efektivity reklamních inovací.
• Koeficient ${displaystyle delta}$ je rozpadová konstanta.
• Druhá odmocnina přináší přinejmenším při nízkých prodejních úrovních takzvaný efekt z úst.^[1][4]
• Difúzní termín ${displaystyle sigma (X_ {t}) dz_ {t}}$ přináší náhodný efekt.

Příklad optimálního reklamního problému

S výhradou výše uvedeného modelu Sethi s počátečním podílem na trhu ${displaystyle x}$, zvažte následující objektivní funkci:

${displaystyle V (x) = max _ {U_ {t} geq 0}; Eleft [int _ {0} ^ {infty} e ^ {- ho t} (pi X_ {t} -U_ {t} ^ {2 }), dtight],}$

kde ${displaystyle pi}$ označuje tržby z prodeje odpovídající celkovému trhu, tj. když ${displaystyle x = 1}$, a ${displaystyle ho> 0}$ označuje diskontní sazbu.

Funkce ${displaystyle V (x)}$ je známá jako hodnotová funkce pro tento problém a je prokázáno, že je^[2]

${displaystyle V (x) = {ar {lambda}} x + {frac {{ar {lambda}} ^ {2} r ^ {2}} {4ho}},}$

kde

${displaystyle {ar {lambda}} = {frac {{sqrt {(ho + delta) ^ {2} + r ^ {2} pi}} - (ho + delta)} {r ^ {2} / 2}} .}$

The optimální ovládání pro tento problém je^[2]

${displaystyle U_ {t} ^ {*} = u ^ {*} (X_ {t}) = {frac {r {ar {lambda}} {sqrt {1- X_ {t}}}} {2}} = {egin {cases} {}> {ar {u}} & {ext {if}} X_ {t} <{ar {x}}, {} = {ar {u}} & {ext {if}} X_ {t} = {ar {x}}, {} <{ar {u}} a {ext {if}} X_ {t}> {ar {x}}, konec {případů}}}$

kde

${displaystyle {ar {x}} = {frac {r ^ {2} {ar {lambda}} / 2} {r ^ {2} {ar {lambda}} / 2 + delta}}}$

a

${displaystyle {ar {u}} = {frac {r {ar {lambda}} {sqrt {1- {ar {x}}}}} {2}}.}$

Rozšíření modelu Sethi

• Konkurenční rozšíření - Nash diferenciální hry^{[4][7][8][9][10][12][13]}
• Empirické testování modelu Sethi a rozšíření^{[5][6][9][12]}
• Stackelberg diferenciální hry ^[14][15]
• Model dlouhodobého zboží Sethi^[16][17]

Viz také

• Basový difúzní model
• diferenciální hry
• Stochastická diferenciální rovnice
• Šíření inovací
• Stacklebergova soutěž
• Nashova rovnováha

Reference