Nerovnost ve výšce - Serres inequality on height - Wikipedia

V algebře, konkrétně v teorii komutativní prsteny, Serreova nerovnost ve výšce uvádí: daný (noetherian) pravidelné zvonění A a pár hlavní ideály ${ displaystyle { mathfrak {p}}, { mathfrak {q}}}$ v něm, pro každý hlavní ideál ${ displaystyle { mathfrak {r}}}$ to je minimální hlavní ideál přes částku ${ displaystyle { mathfrak {p}} + { mathfrak {q}}}$, následující nerovnost na výšky drží:^[1][2]

${ displaystyle operatorname {ht} ({ mathfrak {r}}) leq operatorname {ht} ({ mathfrak {p}}) + operatorname {ht} ({ mathfrak {q}}).}$

Bez předpokladu pravidelnosti může nerovnost selhat; vidět schéma-teoretický průnik # Správný průnik.

Náčrt důkazu

(Serre, Ch. V, § B. 6.) chyba harv: žádný cíl: CITEREFSerre (Pomoc) poskytuje následující důkaz nerovnosti na základě platnosti Serreovy domněnky mnohosti pro formální kruh mocninných řad přes kompletní diskrétní oceňovací kruh.

Výměnou ${ displaystyle A}$ lokalizací na ${ displaystyle { mathfrak {r}}}$, Předpokládáme ${ displaystyle (A, { mathfrak {r}})}$ je místní kruh. Pak je nerovnost ekvivalentní následující nerovnosti: pro konečnou ${ displaystyle A}$- moduly ${ displaystyle M, N}$ takhle ${ displaystyle M otimes _ {A} N}$ má konečnou délku,

${ displaystyle dim _ {A} M + dim _ {A} N leq dim A}$

kde ${ displaystyle dim _ {A} M = dim (A / operatorname {Ann} _ {A} (M))}$ = rozměr podpory ${ displaystyle M}$ a podobné pro ${ displaystyle dim _ {A} N}$. Abychom ukázali výše uvedenou nerovnost, můžeme předpokládat ${ displaystyle A}$ je kompletní. Pak Cohenova věta o struktuře, můžeme psát ${ displaystyle A = A_ {1} / a_ {1} A_ {1}}$ kde ${ displaystyle A_ {1}}$ je formální kruh mocninných řad přes kompletní diskrétní oceňovací kruh a ${ displaystyle a_ {1}}$ je nenulový prvek v ${ displaystyle A_ {1}}$. Nyní hádka s Spektrální sekvence Tor ukázat to ${ displaystyle chi ^ {A_ {1}} (M, N) = 0}$. Pak řekne jedna ze Serreho domněnek ${ displaystyle dim _ {A_ {1}} M + dim _ {A_ {1}} N < dim A_ {1}}$, což zase dává tvrzenou nerovnost. ${ displaystyle square}$

Reference

• William Fulton. (1998), Teorie křižovatky, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., 2 (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-62046-4, PAN  1644323
• P. Serre, Místní algebraSpringer Monografie z matematiky

Tento algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.