Semi-s-cobordism - Semi-s-cobordism

v matematika, a cobordism (Ž, M, M⁻) z (n + 1) -dimenzionální potrubí (s hranicí) Ž mezi jeho hraničními složkami, dvě n- rozdělovače M a M⁻, se nazývá a polo-s-cobordism pokud (a pouze pokud) zahrnutí ${displaystyle Mhookrightarrow W}$ je jednoduchá homotopická ekvivalence (jako v s-cobordism ) ale zahrnutí ${displaystyle M ^ {-} hookrightarrow W}$ není homotop

Jiné notace

Původní tvůrce tohoto tématu, Jean-Claude Hausmann, použil notaci M₋ pro pravou hranici cobordismu.

Vlastnosti

Důsledek (Ž, M, M⁻) být semi-s-cobordism je, že jádro odvozených homomorfismus na základní skupiny ${displaystyle K = ker (pi _ {1} (M ^ {-}) woheadrightarrow pi _ {1} (W))}$ je perfektní. Důsledkem toho je to ${displaystyle pi _ {1} (M ^ {-})}$ řeší problém s rozšířením skupiny ${displaystyle 1ightarrow Kightarrow pi _ {1} (M ^ {-}) ightarrow pi _ {1} (M) ightarrow 1}$ . Řešení problému rozšíření skupiny pro zakázaný kvocientová skupina ${displaystyle pi _ {1} (M)}$ a skupina jader K jsou klasifikovány až do shody (viz Homologie např. MacLane), takže existují omezení, na nichž n-variet může být pravou hranicí polovinys-cobordism se zakázanou levou hranicí M a superperfektní skupinou jádra K.

Vztah k Plus cobordismům

Všimněte si, že pokud (Ž, M, M⁻) je polo-s-cobordism, pak (Ž, M⁻, M) je Plus cobordism. (To ospravedlňuje použití M⁻ pro pravou hranici polořadovkys-cobordism, hra na tradiční použití M⁺ pro pravou hranici plusového cobordismu.) Tedy polovičnís-cobordism lze považovat za inverzi ke konstrukci Quillen's Plus v kategorii potrubí. Všimněte si, že (M⁻)⁺ musí být difeomorfní (respektive po částech lineárně (PL) homeomorfní ) až M ale může existovat celá řada možností pro (M⁺)⁻ pro daný uzavřený hladký (respektive PL ) potrubí M.

Reference

MacLane (1963), Homologie, str. 124–129, ISBN 0-387-58662-8
Hausmann, Jean-Claude (1976), „Homologická chirurgie“, Annals of Mathematics, Druhá série, 104 (3): 573–584, doi:10.2307/1970967, JSTOR 1970967.
Hausmann, Jean-Claude; Vogel, Pierre (1978), „The Plus Construction and Lifting Maps from Manifolds“, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 32: 67–76.
Hausmann, Jean-Claude (1978), „Rozdělovače s danou homologií a základní skupinou“, Commentarii Mathematici Helvetici, 53 (1): 113–134, doi:10.1007 / BF02566068.