Zdánlivě nesouvisející regrese - Seemingly unrelated regressions

v ekonometrie, zdánlivě nesouvisející regresi (SUR)^{[1]:306[2]:279[3]:332} nebo zdánlivě nesouvisející regresní rovnice (TAK URČITĚ)^[4][5]:2 model, navržený Arnold Zellner in (1962), je zobecněním a lineární regresní model který se skládá z několika regresních rovnic, z nichž každá má svou vlastní závislou proměnnou a potenciálně různé sady exogenních vysvětlujících proměnných. Každá rovnice je samostatná platná lineární regrese a lze ji odhadnout samostatně, a proto se systém nazývá zdánlivě nesouvisející,^[3]:332 ačkoli někteří autoři naznačují, že termín zdánlivě související by bylo vhodnější,^[1]:306 od chybové podmínky se předpokládá, že jsou korelovány napříč rovnicemi.

Model lze odhadnout rovnicí po rovnici pomocí standardu obyčejné nejmenší čtverce (OLS). Takové odhady jsou konzistentní, ale obecně ne jako účinný jako metoda SUR, která činí proveditelné zobecněné nejmenší čtverce se specifickou formou variance-kovarianční matice. Dva důležité případy, kdy je SUR ve skutečnosti ekvivalentní s OLS, jsou případy, kdy jsou chybové výrazy ve skutečnosti nekorelované mezi rovnicemi (takže skutečně nesouvisí) a když každá rovnice obsahuje přesně stejnou sadu regresorů na pravé straně.

Na model SUR lze pohlížet buď jako na zjednodušení obecný lineární model kde určité koeficienty v matici ${ displaystyle mathrm {B}}$ jsou omezeny na rovné nule nebo jako zobecnění obecný lineární model kde regresory na pravé straně se mohou v každé rovnici lišit. Model SUR lze dále zobecnit na model simultánních rovnic, kde regresorům na pravé straně může být také endogenní proměnná.

Model

Předpokládejme, že existují m regresní rovnice

${ displaystyle y_ {ir} = x_ {ir} ^ { mathsf {T}} ; ! beta _ {i} + varepsilon _ {ir}, quad i = 1, ldots, m.}$

Tady i představuje číslo rovnice, r = 1, …, R je časové období a bereme transpozici ${ displaystyle x_ {ir}}$ vektor sloupce. Počet pozorování R se předpokládá, že je velký, takže v analýze, kterou bereme R → ${ displaystyle infty}$zatímco počet rovnic m zůstává pevná.

Každá rovnice i má jednu proměnnou odezvy y_ira k_i-dimenzionální vektor regresorů X_ir. Pokud naskladáme pozorování odpovídající i-tá rovnice do R-dimenzionální vektory a matice, pak lze model zapsat ve vektorové podobě jako

${ displaystyle y_ {i} = X_ {i} beta _ {i} + varepsilon _ {i}, quad i = 1, ldots, m,}$

kde y_i a ε_i jsou R× 1 vektory, X_i je R×k_i matice a β_i je k_i× 1 vektor.

Nakonec, pokud je stohujeme m vektorových rovnic na sebe, systém bude mít podobu ^{[4](ekv. (2.2))}

${ displaystyle { begin {pmatrix} y_ {1} y_ {2} vdots y_ {m} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} X_ {1} & 0 & ldots & 0 0 & X_ {2} & ldots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & ldots & X_ {m} end {pmatrix}} { begin {pmatrix} beta _ {1} beta _ {2} vdots beta _ {m} end {pmatrix}} + { begin {pmatrix} varepsilon _ {1} varepsilon _ {2} vdots varepsilon _ {m} end {pmatrix}} = X beta + varepsilon ,.}$

(1)

Předpokladem modelu jsou chybové výrazy ε_ir jsou nezávislé v čase, ale mohou mít souběžné korelace mezi rovnicemi. To tedy předpokládáme E[ ε_ir ε_je | X ] = 0 kdykoli r ≠ s, zatímco E[ ε_ir ε_jr | X ] = σ_ij. Označující Σ = [σ_ij] the m × m matice skedasticity každého pozorování, kovarianční matice skládaných chybových výrazů ε bude rovna ^{[4](ekv. (2.4))[3]:332}

${ displaystyle Omega equiv operatorname {E} [, varepsilon varepsilon ^ { mathsf {T}} , | X ,] = Sigma otimes I_ {R},}$

kde Já_R je R-dimenzionální matice identity a otes označuje matici Produkt Kronecker.

Odhad

Model SUR se obvykle odhaduje pomocí proveditelné zobecněné nejmenší čtverce (FGLS). Jedná se o dvoustupňovou metodu, kde v prvním kroku běžíme obyčejné nejmenší čtverce regrese pro (1). Zbytky z této regrese se používají k odhadu prvků matice ${ displaystyle Sigma}$:^[6]:198

${ displaystyle { hat { sigma}} _ {ij} = { frac {1} {R}} , { hat { varepsilon}} _ {i} ^ { mathsf {T}} { klobouk { varepsilon}} _ {j}.}$

Ve druhém kroku běžíme zobecněné nejmenší čtverce regrese pro (1) pomocí rozptylové matice ${ displaystyle scriptstyle { hat { Omega}} ; = ; { hat { Sigma}} , otimes , I_ {R}}$:

${ displaystyle { hat { beta}} = { Big (} X ^ { mathsf {T}} ({ hat { Sigma}} ^ {- 1} další I_ {R}) X { Velké)} ^ {! - 1} X ^ { mathsf {T}} ({ hat { Sigma}} ^ {- 1} mnohokrát I_ {R}) , y.}$

Tento odhad je objektivní v malých vzorcích za předpokladu chybových podmínek ε_ir mít symetrické rozdělení; ve velkých vzorcích to je konzistentní a asymptoticky normální s omezením distribuce^[6]:198

${ displaystyle { sqrt {R}} ({ hat { beta}} - beta) { xrightarrow {d}} { mathcal {N}} { Big (} , 0, ; { Big (} { tfrac {1} {R}} X ^ { mathsf {T}} ( Sigma ^ {- 1} otimes I_ {R}) X { Big)} ^ {! - 1} , { Big)}.}$

Pro model SUR byly kromě FGLS navrženy další techniky odhadu:^[7] metoda maximální pravděpodobnosti (ML) za předpokladu, že chyby jsou obvykle distribuovány; iterativní generalizované nejmenší čtverce (IGLS), kde se zbytky z druhého kroku FGLS používají k přepočtu matice ${ displaystyle scriptstyle { hat { Sigma}}}$, pak odhad ${ displaystyle scriptstyle { hat { beta}}}$ opět pomocí GLS atd., dokud nebude dosaženo konvergence; iterativní schéma nejmenších čtverců (IOLS), kde se odhad provádí na základě rovnice po rovnici, ale každá rovnice obsahuje jako další regresory zbytky z dříve odhadovaných rovnic, aby se zohlednily korelace mezi rovnicemi, odhad je běžte iterativně, dokud nebude dosaženo konvergence. Kmenta a Gilbert (1968) provedli studii Monte-Carlo a zjistili, že všechny tři metody - IGLS, IOLS a ML - přinášejí numericky ekvivalentní výsledky, také zjistili, že asymptotická distribuce těchto odhadů je stejná jako distribuce odhadce FGLS zatímco v malých vzorcích nebyl ani jeden z odhadců lepší než ostatní.^[8] Zellner a Ando (2010) vyvinuli přímou metodu Monte Carlo pro Bayesianovu analýzu modelu SUR.^[9]

Rovnocennost s OLS

Existují dva důležité případy, kdy se odhady SUR ukáží jako ekvivalentní OLS rovnice po rovnici, takže při společném odhadu systému nedojde k žádnému zisku. Jedná se o tyto případy:

1. Když je známo, že matice Σ je diagonální, to znamená, že neexistují žádné korelační korelační korelace mezi chybovými podmínkami. V tomto případě systém nebude zdánlivě, ale skutečně nesouvisí.
2. Když každá rovnice obsahuje přesně stejnou sadu regresorů, to je X₁ = X₂ = … = X_m. Z toho vyplývá, že se odhady číselně shodují s odhady OLS Kruskalova věta o stromu,^[1]:313 nebo lze zobrazit přímým výpočtem.^[6]:197

Statistické balíčky

• v R, SUR lze odhadnout pomocí balíčku „systemfit“.^{[10][11][12][13]}
• v SAS, SUR lze odhadnout pomocí syslin postup.^[14]
• v Stata, SUR lze odhadnout pomocí jistě a suest příkazy.^[15][16][17]
• v Limdep, SUR lze odhadnout pomocí Tak určitě příkaz ^[18]
• v Krajta, SUR lze odhadnout pomocí příkazu SUR v balíčku „linearmodels“.^[19]
• v gretl, SUR lze odhadnout pomocí Systém příkaz.

Viz také

• Obecný lineární model
• Simultánní modely rovnic

Reference

Další čtení

• Davidson, James (2000). Ekonometrická teorie. Oxford: Blackwell. 308–314. ISBN  978-0-631-17837-8.
• Fiebig, Denzil G. (2001). "Zdánlivě nesouvisející regrese". V Baltagi, Badi H. (ed.). Společník teoretické ekonometrie. Oxford: Blackwell. 101–121. ISBN  978-0-631-21254-6.
• Greene, William H. (2012). Ekonometrická analýza (Sedmé vydání). Horní sedlo: Pearson Prentice-Hall. 332–344. ISBN  978-0-273-75356-8.