Schröder – Bernsteinovy věty pro operátorové algebry - Schröder–Bernstein theorems for operator algebras

The Schröder – Bernsteinova věta z teorie množin má v kontextu analogie operátorské algebry. Tento článek pojednává o takových operátorově algebraických výsledcích.

Pro von Neumannovy algebry

Předpokládat M je von Neumannova algebra a E, F jsou projekce v M. Označme ~ Murray-von Neumannův vztah ekvivalence na M. Definujte dílčí pořadí «v rodině projekcí pomocí E « F -li E ~ F' ≤ F. Jinými slovy, E « F pokud existuje částečná izometrie U ∈ M takhle U U = E a U U* ≤ F.

Pro uzavřené podprostory M a N kde projekce P_M a P_N, na M a N respektive jsou prvky M, M « N -li P_M « P_N.

The Schröder – Bernsteinova věta uvádí, že pokud M « N a N « M, pak M ~ N.

Důkaz, který je podobný argumentu množinové teorie, lze načrtnout následovně. Hovorově, N « M znamená, že N lze izometricky zabudovat do M. Tak

{displaystyle M = M_ {0} supset N_ {0}}

kde N₀ je izometrická kopie N v M. Předpokladem je také pravda, že N, proto N₀, obsahuje izometrickou kopii M₁ z M. Proto lze psát

{displaystyle M = M_ {0} supset N_ {0} supset M_ {1}.}

Indukcí,

{displaystyle M = M_ {0} supset N_ {0} supset M_ {1} supset N_ {1} supset M_ {2} supset N_ {2} supset cdots.}

Je jasné že

{displaystyle R = cap _ {igeq 0} M_ {i} = cap _ {igeq 0} N_ {i}.}

Nechat

{displaystyle Mominus N {stackrel {mathrm {def}} {=}} Mcap (N) ^ {perp}.}

Tak

{displaystyle M = oplus _ {igeq 0} (M_ {i} ominus N_ {i}) quad oplus quad oplus _ {jgeq 0} (N_ {j} ominus M_ {j + 1}) quad oplus R}

a

{displaystyle N_ {0} = oplus _ {igeq 1} (M_ {i} ominus N_ {i}) quad oplus quad oplus _ {jgeq 0} (N_ {j} ominus M_ {j + 1}) quad oplus R. }

Oznámení

{displaystyle M_ {i} ominus N_ {i} sim Mominus Nquad {mbox {pro všechny}} quad i.}

Věta nyní vyplývá z spočetné aditivity ~.

Zastoupení C * -algeber

Existuje také Schröder-Bernsteinův analog pro reprezentaci C * -algebry. Li A je C * -algebra, a zastoupení z A je * -homomorfismus φ z A do L(H), ohraničené operátory v nějakém Hilbertově prostoru H.

Pokud existuje projekce P v L(H) kde P φ(A) = φ(A) P pro každého A v A, pak subreprezentace σ z φ lze definovat přirozeným způsobem: σ(A) je φ(A) omezeno na rozsah P. Tak φ pak může být vyjádřen jako přímý součet dvou subreprezentací φ = φ ' ⊕ σ.

Dvě reprezentace φ₁ a φ₂, na H₁ a H₂ respektive se o nich říká, že jsou jednotně ekvivalentní pokud existuje jednotný operátor U: H₂ → H₁ takhle φ₁(A)U = Uφ₂(A), pro každého A.

V tomto nastavení je Schröder – Bernsteinova věta zní:

Pokud dvě reprezentace ρ a σ, na Hilbertových prostorech H a G jednotlivě jsou jednotně ekvivalentní subreprezentaci druhého, pak jsou jednotně ekvivalentní.

Lze nastínit důkaz, který se podobá předchozímu argumentu. Předpoklad naznačuje, že existují surjektivní parciální izometrie z H na G a od G na H. Opravte pro argument dvě takové částečné izometrie. Jeden má