Délka rozptylu - Scattering length - Wikipedia

The délka rozptylu v kvantová mechanika popisuje nízkoenergetický rozptyl. Pro potenciály, které se rozpadají rychleji než ${ displaystyle 1 / r ^ {3}}$ tak jako ${ displaystyle r to infty}$ , je definován jako následující nízkoenergetický omezit:

{ displaystyle lim _ {k až 0} k cot delta (k) = - { frac {1} {a}} ;,}

kde ${ displaystyle a}$ je délka rozptylu, ${ displaystyle k}$ je číslo vlny, a ${ displaystyle delta (k)}$ je fázový posun odchozí sférické vlny. Pružný průřez, ${ displaystyle sigma _ {e}}$ , při nízkých energiích je určena pouze délkou rozptylu:

{ displaystyle lim _ {k až 0} sigma _ {e} = 4 pi a ^ {2} ;.}

Obecný koncept

Když pomalá částice rozptýlí rozptyl s krátkým dosahem (např. Nečistota v pevné nebo těžké částice), nemůže vyřešit strukturu objektu, protože jeho vlnová délka de Broglie je velmi dlouhá. Myšlenka je, že pak by nemělo být důležité, jaké přesné potenciál ${ displaystyle V (r)}$ jeden se rozptýlí, ale pouze to, jak potenciál vypadá na stupnicích dlouhé délky. Formálním způsobem, jak tento problém vyřešit, je udělat a částečná expanze vln (poněkud analogický k vícepólová expanze v klasická elektrodynamika ), kde jeden expanduje v moment hybnosti složky odchozí vlny. Při velmi nízké energii příchozí částice nevidí žádnou strukturu, proto má nejnižší řád pouze sférickou odchozí vlnu, která se analogicky nazývá s-vlna atomová oběžná dráha při kvantovém čísle momentu hybnosti l= 0. Při vyšších energiích je také třeba vzít v úvahu vlnu p a d (l= 1,2) rozptyl a tak dále.

Myšlenka popisu nízkoenergetických vlastností z hlediska několika parametrů a symetrií je velmi silná a stojí také za konceptem renormalizace.

Koncept délky rozptylu lze také rozšířit na potenciály, které se rozpadají pomaleji než ${ displaystyle 1 / r ^ {3}}$ tak jako ${ displaystyle r to infty}$ . Slavným příkladem relevantním pro rozptyl protonů-protonů je Coulombova modifikovaná délka rozptylu.

Příklad

Jako příklad, jak vypočítat vlnu s (tj. Moment hybnosti ${ displaystyle l = 0}$ ) délku rozptylu pro daný potenciál se podíváme na nekonečně odpudivou sférickou potenciální studna poloměru ${ displaystyle r_ {0}}$ ve 3 rozměrech. Radiální Schrödingerova rovnice ( ${ displaystyle l = 0}$ ) mimo studnu je to stejné jako u volné částice:

{ displaystyle - { frac { hbar ^ {2}} {2m}} u '' (r) = Eu (r),}

kde potenciál pevného jádra vyžaduje, aby vlnová funkce ${ displaystyle u (r)}$ zmizí v ${ displaystyle r = r_ {0}}$ , ${ displaystyle u (r_ {0}) = 0}$ Řešení lze snadno najít:

{ displaystyle u (r) = A sin (kr + delta _ {s})}

.

Tady ${ displaystyle k = { sqrt {2mE}} / hbar}$ a ${ displaystyle delta _ {s} = - k cdot r_ {0}}$ je s-vlna fázový posun (fázový rozdíl mezi příchozí a odchozí vlnou), který je fixován okrajovou podmínkou ${ displaystyle u (r_ {0}) = 0}$ ; ${ displaystyle A}$ je libovolná normalizační konstanta.

Lze to ukázat obecně ${ displaystyle delta _ {s} (k) cca -k cdot a_ {s} + O (k ^ {2})}$ pro malé ${ displaystyle k}$ (tj. nízký rozptyl energie). Parametr ${ displaystyle a_ {s}}$ délky kóty je definována jako délka rozptylu. Pro náš potenciál tedy máme ${ displaystyle a = r_ {0}}$ , jinými slovy, délka rozptylu pro tvrdou kouli je jen poloměr. (Alternativně by se dalo říci, že libovolný potenciál s délkou rozptylu vln s ${ displaystyle a_ {s}}$ má stejné nízkoenergetické rozptylové vlastnosti jako tvrdá koule o poloměru ${ displaystyle a_ {s}}$ .) Abychom vztahovali délku rozptylu k fyzickým pozorovatelům, které lze měřit v experimentu rozptylu, musíme vypočítat průřez ${ displaystyle sigma}$ . v teorie rozptylu jeden píše asymptotickou vlnovou funkci jako (předpokládáme, že v počátku je konečný rozptyl rozptylu a podél ${ displaystyle z}$ -osa):

{ displaystyle psi (r, theta) = e ^ {ikz} + f ( theta) { frac {e ^ {ikr}} {r}}}

kde ${ displaystyle f}$ je amplituda rozptylu. Podle pravděpodobnostní interpretace kvantové mechaniky diferenciální průřez darováno ${ Displaystyle d sigma / d Omega = | f ( theta) | ^ {2}}$ (pravděpodobnost rozptylu do směru za jednotku času ${ displaystyle mathbf {k}}$ ). Pokud vezmeme v úvahu pouze rozptyl vln s, rozdílný průřez nezávisí na úhlu ${ displaystyle theta}$ a celkem rozptyl průřezu je jen ${ displaystyle sigma = 4 pi | f | ^ {2}}$ . Část vlnové funkce s vlnami ${ displaystyle psi (r, theta)}$ se promítá pomocí standardní expanze rovinné vlny, pokud jde o sférické vlny a Legendární polynomy ${ displaystyle P_ {l} ( cos theta)}$ :

{ displaystyle e ^ {ikz} cca { frac {1} {2ikr}} sum _ {l = 0} ^ { infty} (2l + 1) P_ {l} ( cos theta) vlevo [(-1) ^ {l + 1} e ^ {- ikr} + e ^ {ikr} doprava]}

Přiřazením ${ displaystyle l = 0}$ součást ${ displaystyle psi (r, theta)}$ k řešení s-wave ${ displaystyle psi (r) = A sin (kr + delta _ {s}) / r}$ (kde se normalizujeme ${ displaystyle A}$ taková, že příchozí vlna ${ displaystyle e ^ {ikz}}$ má prefaktor jednoty) jeden má:

{ displaystyle f = { frac {1} {2ik}} (e ^ {2i delta _ {s}} - 1) přibližně delta _ {s} / k přibližně -a_ {s}}

To dává:

${ displaystyle sigma = { frac {4 pi} {k ^ {2}}} sin ^ {2} delta _ {s} = 4 pi a_ {s} ^ {2}}$

Viz také

Reference

Landau, L. D .; Lifshitz, E. M. (2003). Kvantová mechanika: Nerelativistická teorie. Amsterdam: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-3539-8.