Řešení skalárního pole - Scalar field solution

v obecná relativita, a řešení skalárního pole je přesné řešení z Einsteinova rovnice pole ve kterém gravitační pole je způsobeno výhradně energií pole a hybností a skalární pole. Takové pole může, ale nemusí být bezhmotný, a to může být vzato mít minimální zakřivení, nebo jiná volba, například konformní spojka.

Matematická definice

Obecně platí, že geometrické nastavení fyzikálních jevů je a Lorentzian potrubí, který je fyzicky interpretován jako zakřivený časoprostor a který je matematicky specifikován definováním a metrický tenzor ${ displaystyle g_ {ab}}$ (nebo definováním a rámové pole ). The tenzor zakřivení ${ displaystyle R_ {bcd} ^ {a}}$ tohoto potrubí a souvisejících množství, jako je Einsteinův tenzor ${ displaystyle G_ {ab}}$ , jsou dobře definované i při absenci jakékoli fyzikální teorie, ale obecně relativnost získávají fyzickou interpretaci jako geometrické projevy gravitační pole.

Kromě toho musíme určit skalární pole zadáním funkce ${ displaystyle psi}$ . Tato funkce je vyžadována pro splnění dvou následujících podmínek:

Funkce musí splňovat (zakřivený časoprostor) bez zdroje vlnová rovnice ${ displaystyle g ^ {ab} psi _ {; ab} = 0}$ ,
Einsteinův tenzor musí odpovídat tenzor napětí a energie pro skalární pole, které v nejjednodušším případě a minimálně spojené bezhmotné skalární pole, lze psát

${ displaystyle G_ {ab} = 8 pi left ( psi _ {; a} psi _ {; b} - { frac {1} {2}} psi _ {; m} psi ^ { ; m} g_ {ab} vpravo)}$ .

Obě podmínky vyplývají z různých změn Lagrangeova hustota pro skalární pole, které v případě minimálně vázaného bezhmotného skalárního pole je

{ displaystyle L = -g ^ {mn} , psi _ {; m} , psi _ {; n}}

Tady,

{ displaystyle { frac { delta L} { delta psi}} = 0}

dává vlnovou rovnici, zatímco

{ displaystyle { frac { delta L} { delta g ^ {ab}}} = 0}

dává Einsteinovu rovnici (v případě, že energie pole skalárního pole je jediným zdrojem gravitačního pole).

Fyzická interpretace

Skalární pole jsou často interpretována jako klasická aproximace ve smyslu efektivní teorie pole, do nějakého kvantového pole. Obecně relativita, spekulativní kvintesence pole může vypadat jako skalární pole. Například tok neutrálu piony lze v zásadě modelovat jako minimálně spojené bezhmotné skalární pole.

Einsteinův tenzor

Složky tenzoru vypočítané s ohledem na a rámové pole spíše než souřadnicový základ fyzické komponenty, protože to jsou komponenty, které mohou (v zásadě) měřit pozorovatel.

Ve zvláštním případě a minimálně spojené bezhmotné skalární pole, an přizpůsobený rám

{ displaystyle { vec {e}} _ {0}, ; { vec {e}} _ {1}, ; { vec {e}} _ {2}, ; { vec {e }} _ {3}}

(první je a podobný jednotka vektorové pole, poslední tři jsou vesmírný pole vektorových jednotek) lze vždy najít, ve kterém má Einsteinův tenzor jednoduchou formu

${ displaystyle G _ {{ hat {a}} { hat {b}}} = 8 pi sigma , left [{ begin {matrix} -1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {matrix}} vpravo]}$ kde ${ displaystyle sigma}$ je hustota energie skalárního pole.

Vlastní čísla

The charakteristický polynom Einsteinova tenzoru v minimálně spojeném bezhmotném řešení skalárního pole musí mít formu

{ displaystyle chi ( lambda) = ( lambda +8 pi sigma) ^ {3} , ( lambda -8 pi sigma)}

Jinými slovy, máme jednoduché vlastní číslo a trojité vlastní číslo, z nichž každý je záporem druhého. Znásobte a používejte Gröbnerův základ metody, zjistíme, že následující tři invarianty musí zmizet shodně:

{ displaystyle a_ {2} = 0, ; ; a_ {1} ^ {3} + 4a_ {3} = 0, ; ; a_ {1} ^ {4} + 16a_ {4} = 0}

Použitím Newtonovy identity, můžeme je přepsat, pokud jde o stopy sil. Našli jsme to

{ displaystyle t_ {2} = t_ {1} ^ {2}, ; t_ {3} = t_ {1} ^ {3} / 4, ; t_ {4} = t_ {1} ^ {4} / 4}

Můžeme to přepsat z hlediska indexové gymnastiky jako zjevně neměnná kritéria:

{ displaystyle {G ^ {a}} _ {a} = - R}

{ displaystyle {G ^ {a}} _ {b} , {G ^ {b}} _ {a} = R ^ {2}}

{ displaystyle {G ^ {a}} _ {b} , {G ^ {b}} _ {c} , {G ^ {c}} _ {a} = R ^ {3} / 4}

{ displaystyle {G ^ {a}} _ {b} , {G ^ {b}} _ {c} , {G ^ {c}} _ {d} , {G ^ {d}} _ {a} = R ^ {4} / 4}

Příklady

Pozoruhodná individuální řešení skalárního pole zahrnují

the Řešení skalárního pole Janis – Newman – Winicour, což je jedinečný statický a sféricky symetrické nehmotné řešení minimálně vázaného skalárního pole.

Viz také

Reference

Stephani, H .; Kramer, D .; MacCallum, M .; Hoenselaers, C. & Herlt, E. (2003). Přesná řešení Einsteinových polních rovnic (2. vydání). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-46136-7.
Hawking, S. W. & Ellis, G. F. R. (1973). Struktura velkého měřítka časoprostoru. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-09906-4. Vidět oddíl 3.3 pro tenzor energie napětí minimálně vázaného skalárního pole.