Rushbrooke nerovnost - Rushbrooke inequality

tento článek ne uvést žádný Zdroje. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Rushbrooke nerovnost"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Prosince 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v statistická mechanika, Rushbrooke nerovnost se týká kritické exponenty a magnetický systém, který vykazuje první objednávku fázový přechod v termodynamický limit pro nenulovou teplota T.

Protože Helmholtzova volná energie je rozsáhlý, normalizace na volnou energii na místo je uvedena jako

${displaystyle f = -kTlim _ {Nightarrow infty} {frac {1} {N}} přihlásit Z_ {N}}$

The magnetizace M na místo v termodynamický limit, v závislosti na externím magnetické pole H a teplota T darováno

${displaystyle M (T, H) {stackrel {mathrm {def}} {=}} lim _ {Nightarrow infty} {frac {1} {N}} vlevo (součet _ {i} sigma _ {i} ight) = -left ({frac {částečné f} {částečné H}} vpravo) _ {T}}$

kde ${displaystyle sigma _ {i}}$ je rotace na i-tom místě a magnetická susceptibilita a měrné teplo při konstantní teplotě a pole jsou dány příslušně

${displaystyle chi _ {T} (T, H) = vlevo ({frac {částečné M} {částečné H}} vpravo) _ {T}}$

a

${displaystyle c_ {H} = - Tleft ({frac {částečné ^ {2} f} {částečné T ^ {2}}} včas) _ {H}.}$

Definice

Kritičtí exponenti ${displaystyle alpha, alpha ', eta, gamma, gamma'}$ a ${displaystyle delta}$ jsou definovány z hlediska chování parametrů objednávky a funkcí odezvy poblíž kritického bodu následovně

${displaystyle M (t, 0) simeq (-t) ^ {eta} {mbox {for}} tuparrow 0}$

${displaystyle M (0, H) simeq | H | ^ {1 / delta} operatorname {sign} (H) {mbox {for}} Hightarrow 0}$

${displaystyle chi _ {T} (t, 0) simeq {egin {cases} (t) ^ {- gamma}, & {extrm {for}} tdownarrow 0 (- t) ^ {- gamma '}, & { extrm {for}} tuparrow 0end {cases}}}$

${displaystyle c_ {H} (t, 0) simeq {egin {cases} (t) ^ {- alpha} & {extrm {for}} tdownarrow 0 (- t) ^ {- alpha '} & {extrm {for }} tuparrow 0end {cases}}}$

kde

${displaystyle t {stackrel {mathrm {def}} {=}} {frac {T-T_ {c}} {T_ {c}}}}$

měří teplotu vzhledem k kritický bod.

Derivace

Pro magnetický analog Maxwellovy vztahy pro funkce odezvy vztah

${displaystyle chi _ {T} (c_ {H} -c_ {M}) = Tleft ({frac {částečné M} {částečné T}} včas) _ {H} ^ {2}}$

následuje, a termodynamická stabilita to vyžaduje ${displaystyle c_ {H}, c_ {M} {mbox {and}} chi _ {T} geq 0}$, jeden má

${displaystyle c_ {H} geq {frac {T} {chi _ {T}}} vlevo ({frac {částečné M} {částečné T}} vpravo) _ {H} ^ {2}}$

které za daných podmínek ${displaystyle H = 0, t> 0}$ a definice kritických exponentů dává

${displaystyle (-t) ^ {- alpha '} geq mathrm {constant} cdot (-t) ^ {gamma'} (- t) ^ {2 (eta -1)}}$

což dává Rushbrooke nerovnost

${displaystyle alfa '+2 eta + gama' geq 2.}$

Je pozoruhodné, že v experimentu a v přesně vyřešených modelech nerovnost ve skutečnosti platí jako rovnost.