Funkce Rosenbrock - Rosenbrock function
v matematická optimalizace, Funkce Rosenbrock je ne-konvexní funkce, představil Howard H. Rosenbrock v roce 1960, který se používá jako problém s testováním výkonu pro optimalizaci algoritmy.[1] Je také známý jako Rosenbrockovo údolí nebo Rosenbrockova funkce banánů.
Globální minimum je uvnitř dlouhé, úzké, parabolický tvarované ploché údolí. Najít údolí je triviální. Konvergovat k globálnímu minimální je však obtížné.
Funkce je definována
Má globální minimum na , kde . Obvykle jsou tyto parametry nastaveny tak, že a . Pouze v malicherném případě, kdy funkce je symetrická a minimum je na počátku.
Vícerozměrné zobecnění
Běžně se setkáváme se dvěma variantami.
Jedním z nich je součet nespojené problémy 2D Rosenbrock a je definován pouze pro sudé s:
Tato varianta má předvídatelně jednoduchá řešení.
Druhá, více zapojená varianta je
má právě jedno minimum pro (na ) a přesně dvě minima pro — Globální minimum všech a místní minimum blízko . Tento výsledek se získá nastavením gradientu funkce rovné nule, přičemž si všimneme, že výsledná rovnice je racionální funkcí . Pro malé polynomy lze určit přesně a Sturmova věta lze použít k určení počtu skutečných kořenů, zatímco kořeny mohou být ohraničený v regionu .[5] Pro větší tato metoda se rozpadá kvůli velikosti použitých koeficientů.
Stacionární body
Mnoho stacionárních bodů funkce vykazuje při vykreslování pravidelný vzor.[5] Tuto strukturu lze využít k jejich vyhledání.
Příklady optimalizace
Funkce Rosenbrock může být efektivně optimalizována přizpůsobením příslušného souřadnicového systému bez použití žádného informace o přechodu a bez vytváření lokálních aproximačních modelů (na rozdíl od mnoha optimalizátorů bez derivací). Následující obrázek ukazuje příklad 2-dimenzionální optimalizace funkce Rosenbrock pomocíadaptivní sestup souřadnic od výchozího bodu . Řešení s hodnotou funkce lze najít po 325 vyhodnoceních funkcí.
Za použití Metoda Nelder – Mead od výchozího bodu s běžným počátečním simplexem je nalezeno minimum s hodnotou funkce po 185 vyhodnocení funkcí. Na obrázku níže je znázorněn vývoj algoritmu.
Viz také
Reference
- ^ Rosenbrock, H.H. (1960). "Automatická metoda pro zjištění největší nebo nejmenší hodnoty funkce". Počítačový deník. 3 (3): 175–184. doi:10.1093 / comjnl / 3.3.175. ISSN 0010-4620.
- ^ Simionescu, P.A. (2014). Počítačové grafy a simulační nástroje pro uživatele AutoCADu (1. vyd.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1-4822-5290-3.
- ^ Dixon, L. C. W .; Mills, D. J. (1994). „Vliv zaokrouhlování chyb na metodu proměnných metrik“. Journal of Optimization Theory and Applications. 80: 175–179. doi:10.1007 / BF02196600.
- ^ "Zobecněná Rosenbrockova funkce". Citováno 2008-09-16.
- ^ A b Kok, Schalk; Sandrock, Carl (2009). "Umístění a charakteristika stacionárních bodů rozšířené funkce Rosenbrock". Evoluční výpočet. 17 (3): 437–53. doi:10.1162 / evco.2009.17.3.437. hdl:2263/13845. PMID 19708775.