Teorie tuhosti (fyzika) - Rigidity theory (physics)

Teorie tuhosti, nebo teorie topologických omezení, je nástroj pro předpovídání vlastností složitých sítí (např brýle ) na základě jejich složení. To bylo představeno Phillipsem v roce 1979^[1] a 1981^[2], a rafinovaný Thorpe v roce 1983.^[3] Inspirováno studiem stabilita mechanických vazníků jak propagoval James Clerk Maxwell^[4], a seminární prací na skleněné konstrukci provedenou William Houlder Zachariasen^[5], tato teorie redukuje složité molekulární sítě na uzly (atomy, molekuly, proteiny atd.) omezené tyčemi (chemická omezení), čímž filtruje mikroskopické detaily, které nakonec neovlivňují makroskopické vlastnosti. Ekvivalentní teorie byla vyvinuta P.K. Gupta A.R. Cooper v roce 1990, kde místo uzlů představujících atomy představovaly jednotku polytopes^[6]. Příkladem toho může být čtyřstěn SiO v čistém skle oxid křemičitý. Tento styl analýzy má aplikace v biologii a chemii, jako je pochopení adaptability v sítích interakce protein-protein.^[7] Teorie tuhosti aplikovaná na molekulární sítě vyplývající z fenotypové exprese určitých nemocí může poskytnout pohled na jejich strukturu a funkci.

V molekulárních sítích mohou být atomy omezeny radiálními omezeními protažení vazby dvěma těly, která udržují pevné meziatomové vzdálenosti, a úhlovými omezeními ohýbání vazby 3 těla, která udržují úhly pevné kolem svých průměrných hodnot. Jak uvádí Maxwellovo kritérium, mechanický vazník je izostatický když se počet omezení rovná počtu stupně svobody uzlů. V tomto případě je vazník optimálně omezen, je tuhý, ale bez stres. Toto kritérium aplikoval Phillips na molekulární sítě, které se nazývají flexibilní, pevně namáhané nebo izostatické, když je počet omezení na atomy nižší, vyšší nebo rovný 3, počet stupňů volnosti na atom ve třech dimenzionální systém.^[8] Stejná podmínka platí pro náhodné balení koulí, které jsou izostatické na rušení Podmínky pro tvorbu skla budou obvykle optimální, pokud je síť izostatická, což je například případ čisté oxid křemičitý.^[9] Flexibilní systémy vykazují vnitřní stupně volnosti, tzv. Disketové režimy,^[3] vzhledem k tomu, že tuhé a namáhané jsou složité, uzamčené vysokým počtem omezení a mají tendenci krystalizovat místo formování skla během rychlého kalení.

Odvození izostatického stavu

Podmínky pro izostaticitu lze odvodit pohledem na vnitřní stupně volnosti obecné 3D sítě. Pro ${ displaystyle N}$ uzly, ${ displaystyle N_ {c}}$ omezení a ${ displaystyle M_ {eq}}$ rovnice rovnováhy, počet stupňů volnosti je

${ displaystyle F = 3N-N_ {c} -M_ {eq}}$

Termín uzlu získá faktor 3 kvůli tomu, že ve směrech x, yaz jsou transnacionální stupně volnosti. Podobným uvažováním ${ displaystyle M_ {eq} = 6}$ ve 3D, protože v každé dimenzi existuje jedna rovnice rovnováhy pro translační a rotační režimy. To přináší

${ displaystyle F = 3N-N_ {c} -6}$

To lze použít na každý uzel v systému normalizací podle počtu uzlů

${ displaystyle f = 3-n_ {c}}$

kde ${ displaystyle f = { frac {F} {N}}}$, ${ displaystyle n_ {c} = { frac {N_ {c}} {N}}}$a poslední termín byl od atomových systémů zrušen ${ displaystyle 6 << N}$. Izostatické podmínky jsou dosaženy, když ${ displaystyle f = 0}$, čímž se získá počet omezení na atom v izostatickém stavu ${ displaystyle n_ {c} = 3}$.

Alternativní odvození je založeno na analýze tažný modul ${ displaystyle G}$ 3D sítě nebo pevné struktury. Izostatický stav, který představuje mez mechanické stability, je ekvivalentní nastavení ${ displaystyle G = 0}$ v mikroskopické teorii pružnosti, která poskytuje ${ displaystyle G}$ jako funkce vnitřního koordinačního počtu uzlů a počtu stupňů volnosti. Problém vyřešili Alessio Zaccone a E. Scossa-Romano v roce 2011, kteří odvodili analytický vzorec pro smykový modul 3D sítě pružin s centrální silou (omezení protahování vazbou): ${ displaystyle G = (1/30) kappa R_ {0} ^ {2} (z-2d)}$.^[10]Tady, ${ displaystyle kappa}$ je jarní konstanta, ${ displaystyle R_ {0}}$ je vzdálenost mezi dvěma nejbližšími sousedními uzly, ${ displaystyle z}$ průměrné koordinační číslo sítě (všimněte si, že zde ${ displaystyle zN / 2 equiv N_ {c}}$ a ${ displaystyle z / 2 equiv n_ {c}}$), a ${ displaystyle 2d = 6}$ ve 3D. Podobný vzorec byl odvozen pro 2D sítě, kde je prefaktor ${ displaystyle 1/18}$ namísto ${ displaystyle 1/30}$Proto na základě výrazu Zaccone-Scossa-Romano pro ${ displaystyle G}$, po nastavení ${ displaystyle G = 0}$, jeden získá ${ displaystyle z = 2d = 6}$, nebo ekvivalentně v jiné notaci, ${ displaystyle n_ {c} = 3}$, který definuje Maxwellův izostatický stav. Podobnou analýzu lze provést pro 3D sítě s interakcemi ohýbání vazby (na vrcholu vazby protahování), což vede k izostatickému stavu ${ displaystyle z = 2.4}$, s nižší prahovou hodnotou kvůli úhlovým omezením způsobeným ohýbáním vazby.^[11]

Vývoj ve sklářské vědě

Teorie tuhosti umožňuje predikci optimálních izostatických složení i závislosti složení na vlastnostech skla jednoduchým výčtem omezení^[12]. Mezi tyto vlastnosti skla patří mimo jiné: modul pružnosti, tažný modul, objemový modul, hustota, Poissonův poměr, koeficient tepelné roztažnosti, tvrdost^[13], a houževnatost. V některých systémech kvůli obtížnosti přímého výčtu omezení ručně a znalosti všech systémových informací a priori, teorie se často používá ve spojení s výpočetními metodami ve vědě o materiálech, jako je molekulární dynamika (MD). Zvláště teorie hrála hlavní roli ve vývoji Gorilla Glass 3.^[14] Rozšířeno na brýle při konečné teplotě^[15] a konečný tlak,^[16] teorie tuhosti byla použita k předpovědi teploty, viskozity a mechanických vlastností skelného přechodu.^[8] To bylo také aplikováno na zrnité materiály^[17] a bílkoviny.^[18]

V souvislosti s měkkými brýlemi použil teorii tuhosti Alessio Zaccone a Eugene Terentjev předpovědět teplotu skelného přechodu polymerů a poskytnout derivaci a interpretaci molekulární úrovně Rovnice Flory-Fox.^[19] Teorie Zaccone-Terentjev také poskytuje výraz pro tažný modul skelných polymerů jako funkce teploty, která je v kvantitativní shodě s experimentálními údaji a je schopná popsat mnoho řádů poklesu tažný modul při přiblížení se ke skleněnému přechodu zdola^[19]

V roce 2001 Boolchand a spolupracovníci zjistili, že izostatické složení ve skelných slitinách - předpovězené teorií tuhosti - neexistuje pouze v jednom prahovém složení; spíše v mnoha systémech pokrývá malou, dobře definovanou škálu kompozic mezi flexibilními (nedostatečně omezenými) a stresově rigidními (příliš omezenými) doménami.^[20] Toto okno optimálně omezených brýlí se proto označuje jako mezifáze nebo okno reverzibility, protože tvorba skla má být vratná s minimální hysterezí uvnitř okna.^[20] Jeho existence byla přičítána skelné síti sestávající téměř výhradně z měnící se populace izostatických molekulárních struktur.^[16][21] Existence přechodné fáze zůstává ve vědě o skle kontroverzním, ale podnětným tématem.

Reference