Reynoldsův model stresové rovnice - Reynolds stress equation model - Wikipedia

Reynoldsův model stresové rovnice (RSM), označované také jako uzávěry druhého okamžiku, jsou nejúplnější klasikou model turbulence. V těchto modelech se vyhneme víře vířivé viskozity a přímo se vypočítají jednotlivé komponenty Reynoldsova tenzoru napětí. Tyto modely používají pro svoji formulaci přesnou Reynoldsovu rovnici přenosu stresu. Berou v úvahu směrové účinky Reynoldsových napětí a komplexní interakce v turbulentních tocích. Reynoldsovy stresové modely nabízejí výrazně lepší přesnost než turbulentní modely založené na vířivé viskozitě, přičemž jsou výpočetně levnější než přímé numerické simulace (DNS) a velké vířivé simulace.

Nedostatky modelů založených na vířivé viskozitě

Modely založené na vířivé viskozitě, jako je ${ displaystyle k- epsilon}$ a ${ displaystyle k- omega}$ modely mají významné nedostatky ve složitých, reálných turbulentních tocích. Například u toků se zakřivením toku, oddělování toků, toků se zónami recirkulačního toku nebo toků ovlivněných středními rotačními účinky je výkon těchto modelů neuspokojivý.

Takové uzávěry založené na jedné a dvou rovnicích nemohou představovat návrat k izotropii turbulence,^[1] pozorováno u rozpadajících se turbulentních toků. Modely založené na vířivé viskozitě nemohou replikovat chování turbulentních toků v limitu Rapid Distortion,^[2] kde se turbulentní proudění chová v podstatě jako elastické médium (místo viskózního).

Reynoldsova rovnice přenosu stresu

Modely Reynoldsovy stresové rovnice se spoléhají na Reynoldsovu stresovou rovnici. Rovnice pro přenos kinematiky Reynoldsův stres ${ displaystyle R_ {ij} = langle u_ {i} ^ { prime} u_ {j} ^ { prime} rangle = - tau _ {ij} / rho}$ je^[3]

${ displaystyle { frac {DR_ {ij}} {Dt}} = D_ {ij} + P_ {ij} + Pi _ {ij} + Omega _ {ij} - varepsilon _ {ij}}$

Míra změny ${ displaystyle R_ {ij}}$ + Přeprava ${ displaystyle R_ {ij}}$ konvekcí = Přeprava ${ displaystyle R_ {ij}}$ difúzí + rychlost výroby ${ displaystyle R_ {ij}}$ + Přeprava ${ displaystyle R_ {ij}}$ kvůli turbulentním interakcím tlak-deformace + transport ${ displaystyle R_ {ij}}$ v důsledku rotace + rychlost rozptylu ${ displaystyle R_ {ij}}$.

Šest výše uvedených parciálních diferenciálních rovnic představuje šest nezávislých Reynolds zdůrazňuje. Zatímco termín produkce (${ displaystyle P_ {ij}}$) je uzavřený a nevyžaduje modelování, ostatní termíny, jako je korelace tlakové deformace (${ displaystyle Pi _ {ij}}$) a rozptýlení (${ displaystyle varepsilon _ {ij}}$), jsou neuzavřené a vyžadují uzavírací modely.

Termín výroby

Produkční termín, který se používá ve výpočtech CFD s Reynoldsovými rovnicemi přenosu stresu, je

${ displaystyle P_ {ij}}$ =${ displaystyle - left (R_ {im} { frac { částečné U_ {j}} { částečné x_ {m}}} + R_ {jm} { frac { částečné U_ {i}} { částečné x_ {m}}} vpravo)}$

Fyzicky produkční člen představuje působení středních rychlostních gradientů pracujících proti Reynoldsovým napětím. To odpovídá přenosu kinetické energie ze středního toku do fluktuujícího rychlostního pole. Je zodpovědný za udržování turbulence v toku tímto přenosem energie z středních pohybů ve velkém měřítku do fluktuujících pohybů v malém měřítku.

Toto je jediný termín, který je uzavřen v Reynoldsových stresových transportních rovnicích. Pro přímé hodnocení nevyžaduje žádné modely. Všechny ostatní termíny v Reynoldsových stresových transportních rovnicích jsou neuzavřené a pro jejich vyhodnocení je třeba použít uzavírací modely.

Termín rychlá korelace tlaku a deformace

Termín korelace rychlého tlaku a deformace přerozděluje energii mezi komponenty Reynoldsova napětí. To závisí na středním gradientu rychlosti a rotaci souřadných os. Fyzicky k tomu dochází v důsledku interakce mezi fluktuujícím polem rychlosti a polem středního gradientu rychlosti. Nejjednodušší lineární forma výrazu modelu je

${ displaystyle { frac { Pi _ {ij} ^ {R}} {k}} = C_ {2} S_ {ij} + C_ {3} (b_ {ik} S_ {jk} + b_ {jk} S_ {ik} - { frac {2} {3}} b_ {mn} S_ {mn} delta _ {ij}) + C_ {4} (b_ {ik} W_ {jk} + b_ {jk} W_ {ik})}$

Tady ${ displaystyle b_ {ij} = { frac { overline {u_ {i} u_ {j}}} {2k}} - { frac { delta _ {ij}} {3}}}$ je tenzor Reynoldsovy stresové anizotropie, ${ displaystyle S_ {ij}}$ je míra deformačního členu pro střední rychlostní pole a ${ displaystyle W_ {ij}}$ je rychlost rotace člen pro střední rychlostní pole. Podle konvence ${ displaystyle C_ {2}, C_ {3}, C_ {4}}$ jsou koeficienty modelu korelace rychlého přetvoření deformace. Existuje mnoho různých modelů pro termín korelace rychlého přetvoření deformace, které se používají v simulacích. Patří mezi ně model Launder-Reece-Rodi,^[4] model Speziale-Sarkar-Gatski,^[5] model Hallback-Johanssen,^[6] model Mishra-Girimaji,^[7] kromě jiných.

Termín korelace pomalého tlaku a deformace

Korelační člen pomalého tlaku a deformace přerozděluje energii mezi Reynoldsovy napětí. To je zodpovědné za návrat k izotropii rozpadajících se turbulencí, kde redistribuuje energii ke snížení anizotropie v Reynoldsových napětích. Fyzicky je tento termín způsoben vzájemnými interakcemi mezi kolísavým polem. Modelový výraz pro tento výraz je uveden jako ^[8]

${ displaystyle Pi _ {ij} ^ {S} = - C_ {1} { frac { varepsilon} {k}} vlevo (R_ {ij} - { frac {2} {3}} k delta _ {ij} right) -C_ {2} left (P_ {ij} - { frac {2} {3}} P delta _ {ij} right)}$

Existuje mnoho různých modelů pro termín korelace pomalého přetvoření deformace, které se používají v simulacích. Patří mezi ně model Rotta ^[9], model Speziale-Sarkar^[10], mimo jiné.

Ztráta pojmu

Tradiční modelování rozptýlení rychlost tenzor ${ displaystyle varepsilon _ { rm {ij}}}$ předpokládá, že malé disipativní víry jsou izotropní. V tomto modelu ovlivňuje rozptyl pouze normální Reynolds zdůrazňuje.^[11]

${ displaystyle varepsilon _ { rm {ij}}}$ = ${ displaystyle { frac {2} {3}} varepsilon delta _ {ij}}$ nebo ${ displaystyle e _ { rm {ij}}}$ = 0

kde ${ displaystyle varepsilon}$ je rychlost rozptylu turbulentní kinetické energie, ${ displaystyle delta _ {ij}}$ = 1 když i = j a 0 když i ≠ j a ${ displaystyle e _ { rm {ij}}}$ je anizostropy disipační rychlosti definovaná jako ${ displaystyle e_ {ij}}$ = ${ displaystyle { frac { varepsilon _ {ij}} { varepsilon}} - { frac {2 delta _ {ij}} {3}}}$.

Jak však ukázalo např. Rogallo,^[12]Schumann & Patterson,^[13]Uberoi,^[14][15]Lee & Reynolds^[16] a Groth, Hallbäck a Johansson^[17]existuje mnoho situací, kdy tento jednoduchý model tenzoru disipační rychlosti není dostatečný vzhledem k tomu, že i malé disipativní víry jsou anizotropní. Aby se zohlednila tato anizotropie v tenzoru disipační rychlosti Rotta^[18] navrhl lineární model vztahující se k anistropii tenzoru napětí při ztrátové rychlosti k anizotropii tenzoru napětí.

${ displaystyle varepsilon _ { rm {ij}}}$ = ${ displaystyle { frac {2} {3}} varepsilon delta _ {ij}}$ nebo ${ displaystyle e _ { rm {ij}}}$ = ${ displaystyle sigma a_ {ij}}$

kde ${ displaystyle a_ {ij}}$ = ${ displaystyle { frac { overline {u_ {i} u_ {j}}} {k}} - { frac {2 delta _ {ij}} {3}}}$ = ${ displaystyle 2b_ {ij}}$.

Parametr ${ displaystyle sigma}$ Předpokládá se, že je to funkce turbulentního Reynoldsova čísla, střední rychlosti deformace atd. Fyzikální úvahy to naznačují ${ displaystyle sigma}$ by měl mít tendenci k nule, když turbulentní Reynoldsovo číslo má sklon k nekonečnu a k jednotě, když turbulentní Reynoldsovo číslo má sklon k nule. Silná podmínka realizovatelnosti to však naznačuje ${ displaystyle sigma}$ by měla být shodně rovna 1.

Na základě rozsáhlých fyzikálních a numerických (DNS a EDQNM) experimentů v kombinaci se silným dodržováním základních fyzikálních a matematických omezení a okrajových podmínek navrhli Groth, Hallbäck a Johansson vylepšený model pro tenzor rychlosti disipace.^[19]

${ displaystyle e _ { rm {ij}}}$ = ${ displaystyle [1+ alpha ({ frac {II_ {a}} {2}} - { frac {2} {3}})] a_ {ij} - alpha (a _ { rm {ik} } a _ { rm {kj}} - { frac {1} {3}} II_ {a} delta _ { rm {ij}})}$

kde ${ displaystyle II_ {a}}$ = ${ displaystyle a _ { rm {ij}} a _ { rm {ji}}}$ je druhý invariant tenzoru ${ displaystyle a _ { rm {ij}}}$ a ${ displaystyle alpha}$ je parametr, který by v zásadě mohl záviset na turbulentním Reynoldsově čísle, parametru střední rychlosti deformace atd.

Groth, Hallbäck a Johansson však pomocí teorie rychlého zkreslení vyhodnotili mezní hodnotu ${ displaystyle alpha}$ což se ukáže být 3/4.^[20][21] Pomocí této hodnoty byl model testován v simulacích DNS čtyř různých homogenních turbulentních toků. I když byly parametry v modelu kubické disipační rychlosti fixovány pomocí realizovatelnosti a RDT před porovnáním s údaji DNS, shoda mezi modelem a daty byla ve všech čtyřech případech velmi dobrá.

Hlavní rozdíl mezi tímto modelem a lineárním je v tom, že každá jeho složka ${ displaystyle e _ { rm {ij}}}$ je ovlivněna úplným anizotropním stavem. Výhoda tohoto kubického modelu je zřejmá z případu kmitání v irrotační rovině, ve kterém je proudová složka ${ displaystyle a _ { rm {ij}}}$ je blízký nule pro střední rychlosti deformace, zatímco odpovídající složka ${ displaystyle e _ { rm {ij}}}$ není. Takové chování nelze popsat lineárním modelem.^[22]

Difúzní termín

The modelování z difúze období ${ displaystyle D_ {ij}}$ je založen na předpokladu, že rychlost přenosu Reynoldsových napětí difúzí je úměrná gradientům Reynolds zdůrazňuje. Toto je aplikace konceptu hypotézy gradientní difúze k modelování účinku prostorového přerozdělení Reynoldsových napětí v důsledku kolísajícího rychlostního pole. Nejjednodušší forma ${ displaystyle D_ {ij}}$ následuje reklama CFD kódy jsou

${ displaystyle D_ {ij}}$ = ${ displaystyle { frac { částečné} { částečné x_ {m}}} vlevo ({ frac {v_ {t}} { sigma _ {k}}} { frac { částečné R_ {ij} } { částečné x_ {m}}} vpravo)}$ = ${ displaystyle operatorname {div} left ({ frac {v_ {t}} { sigma _ {k}}} nabla (R_ {ij}) right)}$

kde ${ displaystyle upsilon _ {t}}$ = ${ displaystyle C _ { mu} { frac {k ^ {2}} { varepsilon}}}$ , ${ displaystyle sigma _ {k}}$ = 1,0 a ${ displaystyle C _ { mu}}$ = 0.09.

Rotační člen

Rotační člen je uveden jako^[23]

${ displaystyle Omega _ {ij} = - 2 omega _ {k} vlevo (R_ {jm} e_ {ikm} + R_ {im} e_ {jkm} vpravo)}$

tady ${ displaystyle omega _ {k}}$ je vektor rotace, ${ displaystyle e_ {ijk}}$= 1, pokud i, j, k jsou v cyklickém pořadí a jsou různé,${ displaystyle e_ {ijk}}$= -1, pokud i, j, k jsou v anticyklickém pořadí a jsou různé a ${ displaystyle e_ {ijk}}$= 0 v případě, že jsou libovolné dva indexy stejné.

Výhody RSM

1) Na rozdíl od modelu k-ε, který používá izotropní vířivou viskozitu, RSM řeší všechny složky turbulentního transportu.
2) Je nejobecnější ze všech turbulence modely a funguje přiměřeně dobře pro velké množství technických toků.
3) Vyžaduje pouze počáteční a / nebo okrajové podmínky být dodán.
4) Protože výrobní podmínky nemusí být modelovány, může selektivně tlumit namáhání způsobená vztlak, efekty zakřivení atd.

Viz také

• Reynoldsův stres
• Izotropie
• Modelování turbulencí
• Vír
• model turbulence k-epsilon

Viz také

• model turbulence k-epsilon
• Míchací model délky

Reference

Bibliografie

• „Turbulent Flows“, S. B. Pope, Cambridge University Press (2000).
• „Modeling Turbulence in Engineering and the Environment: Second-Moment Routes to Closure“, Kemal Hanjalić a Brian Launder, Cambridge University Press (2011).