Zbytkový čas - Residual time - Wikipedia

V teorii procesy obnovy, součást matematické teorie pravděpodobnosti, zbytkový čas nebo dopředný čas opakování je čas mezi jakýmkoli daným časem ${ displaystyle t}$ a další epocha uvažovaného procesu obnovy. V kontextu náhodných procházek je také známá jako přestřelení. Dalším způsobem, jak vyjádřit zbytkový čas, je „kolik času ještě zbývá čekat?“.

Zbytkový čas je velmi důležitý ve většině praktických aplikací procesů obnovy:

• v teorie front, určuje zbývající čas, po který musí nově příchozí zákazník do neprázdné fronty počkat, až bude obsloužen.^[1]
• v bezdrátové sítě, určuje například zbývající životnost bezdrátového spojení při příchodu nového paketu.
• v spolehlivost studie, modeluje zbývající životnost součásti.
• atd.

Formální definice

Ukázkový vývoj procesu obnovy pomocí doby držení S_i a skokové časy J_n.

Zvažte proces obnovy ${ displaystyle {N (t), t geq 0 }}$, s doby držení ${ displaystyle S_ {i}}$ a časy skoků (nebo epochy obnovy) ${ displaystyle J_ {i}}$, a ${ displaystyle i in mathbb {N}}$. Časy držení ${ displaystyle S_ {i}}$ jsou nezáporné, nezávislé, identicky distribuované náhodné proměnné a proces obnovy je definován jako ${ displaystyle N (t) = sup {n: J_ {n} leq t }}$. Potom do daného času ${ displaystyle t}$, jednoznačně odpovídá ${ displaystyle N (t)}$takové, že:

${ displaystyle J_ {N (t)} leq t$

The zbytkový čas (nebo nadbytečný čas) je dán časem ${ displaystyle Y (t)}$ z ${ displaystyle t}$ do další epochy obnovy.

${ displaystyle Y (t) = J_ {N (t) +1} -t. ,}$

Rozdělení pravděpodobnosti zbytkového času

Nech kumulativní distribuční funkce doby držení ${ displaystyle S_ {i}}$ být ${ displaystyle F (t) = Pr [S_ {i} leq t]}$ a připomenout, že funkce obnovy procesu je ${ displaystyle m (t) = mathbb {E} [N (t)]}$. Pak pro danou dobu ${ displaystyle t}$, kumulativní distribuční funkce ${ displaystyle Y (t)}$ se počítá jako:^[2]

${ displaystyle Phi (x, t) = Pr [Y (t) leq x] = F (t + x) - int _ {0} ^ {t} vlevo [1-F (t + xy ) vpravo] dm (y)}$

Rozlišování s ohledem na ${ displaystyle x}$, funkci hustoty pravděpodobnosti lze zapsat jako

${ displaystyle phi (x, t) = f (t + x) + int _ {0} ^ {t} f (u + x) m '(t-u) du,}$

kde jsme nahradili ${ displaystyle u = t-y.}$ Z teorie elementární obnovy ${ displaystyle m '(t) rightarrow 1 / mu}$ tak jako ${ displaystyle t rightarrow infty}$, kde ${ displaystyle mu}$ je průměr distribuce ${ displaystyle F}$. Pokud vezmeme v úvahu omezující rozdělení jako ${ displaystyle t rightarrow infty}$, za předpokladu, že ${ displaystyle f (t) rightarrow 0}$ tak jako ${ displaystyle t rightarrow infty}$, máme omezující pdf jako

${ displaystyle phi (x) = { frac {1} { mu}} int _ {0} ^ { infty} f (u + x) du = { frac {1} { mu}} int _ {x} ^ { infty} f (v) dv = { frac {1-F (x)} { mu}}.}$

Stejně tak je kumulativní rozdělení zbytkového času

${ displaystyle Phi (x) = { frac {1} { mu}} int _ {0} ^ {x} [1-F (u)] du.}$

Pro velké ${ displaystyle t}$, distribuce je nezávislá na ${ displaystyle t}$, což z něj dělá stacionární distribuci. Zajímavým faktem je, že omezující rozložení dopředného opakovacího času (nebo zbytkového času) má stejnou formu jako omezující rozložení zpětného opakovacího času (nebo věku). Toto rozdělení je vždy ve tvaru písmene J s režimem na nule.

První dva okamžiky tohoto omezujícího rozdělení ${ displaystyle Phi}$ jsou:

${ displaystyle E [Y] = { frac { mu _ {2}} {2 mu}} = { frac { mu ^ {2} + sigma ^ {2}} {2 mu}} ,}$

${ displaystyle E [Y ^ {2}] = { frac { mu _ {3}} {3 mu}},}$

kde ${ displaystyle sigma ^ {2}}$ je rozptyl ${ displaystyle F}$ a ${ displaystyle mu _ {2}}$ a ${ displaystyle mu _ {3}}$ jsou jeho druhý a třetí okamžik.

Paradox čekací doby

Skutečnost, že ${ displaystyle E [Y] = { frac { mu ^ {2} + sigma ^ {2}} {2 mu}}> { frac { mu} {2}}}$ (pro ${ displaystyle sigma> 0}$) je také známý různě jako paradox čekání, inspekční paradox nebo paradox teorie obnovy. Paradox vyplývá ze skutečnosti, že průměrná čekací doba do dalšího obnovení, za předpokladu, že referenční časový bod ${ displaystyle t}$ je rovnoměrně náhodně vybrán v intervalu obnovy, je větší než průměrný interval obnovy ${ displaystyle { frac { mu} {2}}}$. Průměrné čekání je ${ displaystyle E [Y] = { frac { mu} {2}}}$ pouze když ${ displaystyle sigma ^ {2} = 0}$, to je, když jsou obnovy vždy přesné nebo deterministické.

Zvláštní případ: Markovianské časy držení

Když se drží časy ${ displaystyle S_ {i}}$ jsou exponenciálně distribuovány s ${ displaystyle F (t) = 1-e ^ {- lambda t}}$, zbytkové časy jsou také exponenciálně distribuovány. To je Protože ${ displaystyle m (t) = lambda t}$ a:

${ displaystyle Pr [Y (t) leq x] = vlevo [1-e ^ {- lambda (t + x)} vpravo] - int _ {0} ^ {t} vlevo [1 -1 + e ^ {- lambda (t + xy)} vpravo] d ( lambda y) = 1-e ^ {- lambda x}.}$

Toto je známá charakteristika exponenciální rozdělení, tj. jeho paměťová vlastnost. Intuitivně to znamená, že nezáleží na tom, jak dlouho to bylo od poslední epochy obnovy, zbývající čas je stále pravděpodobnostně stejný jako na začátku intervalu zadržení.

Související pojmy

Texty teorie obnovy obvykle také definují strávený čas nebo zpětná doba opakování (nebo aktuální životnost) jako ${ displaystyle Z (t) = t-J_ {N (t)}}$. Jeho rozdělení lze vypočítat podobným způsobem jako rozdělení zbytkového času. Stejně tak celkem život je součet času zpětného opakování a času opakovaného vpřed.

Reference