Reprezentace až po homotopii - Representation up to homotopy

tento článek je sirotek, jako žádné další články odkaz na to. Prosím zavést odkazy na tuto stránku z související články; zkuste Najít odkaz nástroj pro návrhy. (Říjen 2011)

A Reprezentace až po homotopii má několik významů. Jeden z prvních se objevil ve „fyzickém“ kontextu omezených hamiltonovských systémů. Základní myšlenkou je zvedání nezastoupení na kvocientu k a reprezentace až po silnou homotopii o řešení kvocientu. Jako koncept v diferenciální geometrie, zobecňuje pojem reprezentace Lieovy algebry na Lež algebroidy a netriviální vektorové svazky. Jako takový jej zavedli Abad a Mozek.^[1]

Jako motivaci zvažte pravidelný Lie algebroid (A,ρ, [.,.]) (běžný význam, že kotva ρ má konstantní pozici), kde máme dvě přirozené A-připojení na G(A) = kerρ a ν(A)= TM/ imρ respektive:

${ displaystyle nabla colon Gamma (A) times Gamma ({ mathfrak {g}} (A)) na Gamma ({ mathfrak {g}} (A)): nabla _ { ! phi ,} psi: = [ phi, psi],}$

${ displaystyle nabla colon Gamma (A) times Gamma ( nu (A)) až Gamma ( nu (A)): nabla _ {! phi ,} { overline { X}}: = { overline {[ rho ( phi), X]}}.}$

V teorie deformace lži algebroid A existuje dlouhá přesná sekvence^[2]

${ displaystyle tečky až H ^ {n} (A, { mathfrak {g}} (A)) až H_ {def} ^ {n} (A) až H ^ {n-1} (A , nu (A)) na H ^ {n-1} (A, { mathfrak {g}} (A)) na tečky}$

To naznačuje, že správná kohomologie pro deformace (zde označována jako H_def) pochází z přímého součtu obou modulů G(A) a ν(A) a mělo by se volat adjunkční reprezentace. Všimněte si však, že v obecnějším případě, kde ρ nemá stálou hodnost, nemůžeme snadno definovat reprezentace G(A) a ν(A). Místo toho bychom měli zvážit 2-termínový komplex A→TM a reprezentace na něm. To vede k zde vysvětlenému pojmu.

Definice

Nechť (A,ρ, [.,.]) být Lie algebroid přes hladké potrubí M a nechť Ω (A) označuje jeho Lie Algebroid komplex. Nechte dále E být více než vector stupňovaný vektorový svazek M a Ω (A,E) = Ω (A) ⊗ Γ (E) být jeho ℤ-graded A-cochains s hodnotami v E. Reprezentace až po homotopii A na E je operátor diferenciálu D že mapy

${ displaystyle D colon Omega ^ { bullet} (A, E) až Omega ^ { odrážka +1} (A, E),}$

splňuje Leibnizovo pravidlo

${ Displaystyle D ( alfa klín beta) = (D alfa) klín beta + (- 1) ^ {| alfa |} alfa klín (D beta),}$

a čtverce na nulu, tj. D² = 0.

Provozovatelé homotopy

Reprezentace až po homotopii, jak je uvedena výše, je ekvivalentní následujícím údajům

• operátor 1. stupně ∂: E → E že čtverce na 0,
• an A- připojení ∇ zapnuto E kompatibilní jako ${ displaystyle nabla circ částečné = částečné circ nabla}$,
• konec (E) -hodnota A-2-forma ω₂ celkového stupně 1, takže zakřivení splňuje ${ displaystyle částečné omega _ {2} + R _ { nabla} = 0,}$
• Konec(E) -hodnota A-str-formuláře ω_str celkového stupně 1, které splňují homotopické vztahy….

Korespondence je charakterizována jako

${ displaystyle D = částečné + nabla + omega _ {2} + omega _ {3} + cdots. ,}$

Homomorfismy

Homomorfismus mezi reprezentacemi až po homotopii (E,D_E) a (F,D_F) stejného Lie algebroidu A je mapa stupně 0 Φ: Ω (A,E) → Ω (A,F), který dojíždí s diferenciály, tj.

${ displaystyle D_ {E} circ Phi = Phi circ D_ {E}. ,}$

An izomorfismus je nyní invertibilní homomorfismus. Označujeme Rep^∞ kategorie tříd ekvivalence reprezentací až po homotopii společně s třídami ekvivalence homomorfismů.

Ve smyslu výše uvedeného rozkladu D do cochainové mapy ∂, spojení ∇ a vyšších homotopií můžeme také rozložit Φ jako Φ₀ + Φ₁ +… S

${ displaystyle Phi _ {i} in Omega ^ {i} (A, mathrm {Hom} ^ {- i} (E, F))}$

a poté se načte podmínka kompatibility

${ displaystyle částečné Phi _ {n} + d _ { nabla} ( Phi _ {n-1}) + [ omega _ {2}, Phi _ {n-2}] + cdots + [ omega _ {n}, Phi _ {0}] = 0.}$

Příklady

Příkladem jsou obvyklá znázornění Lieových algebroidů nebo konkrétněji Lieových algeber, tj. Modulů.

Další příklad uvádí a str-formulář ω_str dohromady s E = M × ℝ [0] ⊕ ℝ [str] a operátor D = ∇ + ω_str kde ∇ je ploché spojení na triviálním svazkuM × ℝ.

Uvedeno zastoupení až po homotopy as D = ∂ + ∇ + ω₂ + ... můžeme konjugací vytvořit novou reprezentaci až po homotopii, tj.

D = ∂ − ∇ + ω₂ − ω₃ + −….

Sdružené zastoupení

Vzhledem k tomu, Lie algebroid (A,ρ, [.,.]) společně se spojením ∇ na jeho vektorovém svazku můžeme definovat dva přidružené A- připojení následujícím způsobem^[3]

${ displaystyle nabla _ {! phi ,} ^ {bas} psi: = [ phi, psi] + nabla _ {! rho ( psi) ,} phi,}$

${ displaystyle nabla _ {! phi ,} ^ {bas} X: = [ rho ( phi), X] + rho ( nabla _ {! X ,} phi).}$

Navíc můžeme zavést smíšené zakřivení jako

${ displaystyle R ^ {bas} ( phi, psi) (X): = nabla _ {! X ,} [ phi, psi] - [ nabla _ {! X ,} phi, psi] - [ phi, nabla _ {! X ,} psi] - nabla _ {! nabla _ {! psi ,} ^ {bas} X ,} phi + nabla _ {! nabla _ {! psi ,} ^ {bas} X ,} phi.}$

Toto zakřivení měří kompatibilitu Lieova závorka se spojením a je jednou ze dvou podmínek A dohromady s TM formování a uzavřený pár Lieových algebroidů.

První pozorování je, že tento výraz je zdoben kotevní mapou ρ, tedy vyjadřuje zakřivení obou spojení ∇^baz. Za druhé můžeme spojit všechny tři přísady do reprezentace až po homotopii jako:

${ displaystyle D = rho + nabla ^ {bas} + R ^ {bas}.}$

Dalším pozorováním je, že výsledná reprezentace až po homotopii je nezávislá na zvoleném spojení ∇, v podstatě proto, že je rozdíl mezi dvěma A-connections je (A - 1 -forma s hodnotami na konci (E).

Reference