Reflexivní operátorová algebra - Reflexive operator algebra

v funkční analýza, a reflexní operátorová algebra A je operátorská algebra, která má dost invariantní podprostory charakterizovat to. Formálně, A je reflexivní, pokud se rovná algebře omezené operátory které odcházejí neměnný každý podprostor ponechán invariantní každým operátorem v A.

To by nemělo být zaměňováno s reflexní prostor.

Příklady

Nest algebry jsou příklady reflexních operátorových algeber. V konečných rozměrech jsou to jednoduše algebry všech matic dané velikosti, jejichž nenulové položky leží v horním trojúhelníkovém vzoru.

Ve skutečnosti, pokud opravíme jakýkoli vzor záznamů v n podle n matice obsahující úhlopříčku, pak množinu všech n podle n matice, jejichž nenulové hodnoty leží v tomto vzoru, tvoří reflexivní algebru.

Příklad algebry, která je ne reflexivní je sada matic 2 x 2

{ displaystyle left {{ begin {pmatrix} a & b 0 & a end {pmatrix}} : a, b in mathbb {C} right }.}

Tato algebra je menší než algebra Nest

{ displaystyle left {{ begin {pmatrix} a & b 0 & c end {pmatrix}} : a, b, c in mathbb {C} right }}

ale má stejné neměnné podprostory, takže není reflexivní.

Li T je pevná n podle n matice pak množina všech polynomů v T a operátor identity tvoří jednotnou algebru operátora. Věta o Deddensovi a Fillmoreovi říká, že tato algebra je reflexivní právě tehdy, když největší dva bloky v Jordan normální forma z T se liší velikostí maximálně o jednu. Například algebra

{ displaystyle left {{ begin {pmatrix} a & b & 0 0 & a & 0 0 & 0 & a end {pmatrix}} : a, b in mathbb {C} right }}

což se rovná množině všech polynomů v

{ displaystyle T = { begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 end {pmatrix}}}

a identita je reflexivní.

Hyper-reflexivita

Nechat ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ být slabá * uzavřená operátorská algebra obsažená v B (H), množina všech ohraničených operátorů na a Hilbertův prostor H a pro T jakýkoli operátor v B (H), nechť

{ displaystyle beta (T, { mathcal {A}}) = sup { | P ^ { perp} TP | : P { mbox {je projekce a}} P ^ { perp} { mathcal {A}} P = (0) }}

.

Dodržujte to P je projekce zapojená do tohoto supremum přesně v případě, že rozsah P je neměnný podprostor o ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ .

Algebra ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ je reflexivní právě tehdy, když pro každého T v B (H):

{ displaystyle beta (T, { mathcal {A}}) = 0 { mbox {znamená, že}} T { mbox {je v}} { mathcal {A}}}

.

Bereme na vědomí, že pro všechny T v B (H) je splněna následující nerovnost:

{ displaystyle beta (T, { mathcal {A}}) leq { mbox {dist}} (T, { mathcal {A}})}

.

Tady ${ displaystyle { mbox {dist}} (T, { mathcal {A}})}$ je vzdálenost T z algebry, konkrétně nejmenší normy operátora T-A kde A běží přes algebru. Voláme ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ hyperreflexivní pokud existuje konstanta K. tak, že pro každého operátora T v B (H),

{ displaystyle { mbox {dist}} (T, { mathcal {A}}) leq K beta (T, { mathcal {A}})}

.

Nejmenší takový K. se nazývá konstanta vzdálenosti pro ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ . Hyper-reflexivní operátorová algebra je automaticky reflexivní.

V případě reflexivní algebry matic s nenulovými položkami zadanými daným vzorem lze problém nalezení konstanty vzdálenosti přeformulovat jako problém vyplnění matice: pokud vyplníme položky v doplňku vzoru libovolnými položkami, jaký výběr záznamů ve vzoru dává normu nejmenšího operátora?

Příklady

Každá konečně-dimenzionální reflexivní algebra je hyper-reflexivní. Existují však příklady nekonečně-dimenzionálních reflexních operátorových algeber, které nejsou hyper-reflexivní.
Konstanta vzdálenosti pro jednorozměrnou algebru je 1.
Nest algebry jsou hyper-reflexivní s konstantou vzdálenosti 1.
Mnoho von Neumannovy algebry jsou hyper-reflexivní, ale není známo, zda jsou všechny.
A typ I von Neumannova algebra je hyperreflexivní s konstantou vzdálenosti maximálně 2.

Viz také

Reference

William Arveson, Deset přednášek o operátorských algebrách, ISBN 0-8218-0705-6
H. Radjavi a P. Rosenthal, Neměnné podprostory, ISBN 0-486-42822-2