Recamánova sekvence - Recamáns sequence - Wikipedia

v matematika a počítačová věda, Recamánova sekvence^[1]^[2] (nebo Recamanova sekvence) je dobře známý sekvence definováno a relace opakování, protože jeho prvky přímo souvisejí s předchozími prvky, často se definují pomocí rekurze.

Kresba prvních 75 podmínek Recamánovy sekvence^[3], podle způsobu vizualizace uvedeného v Numberphile video Mírně strašidelná Recamánova sekvence^[4]

Pojmenoval si to podle svého vynálezce Bernardo Recamán Santos [es ] (Bogotá, 5. srpna 1954), a kolumbijský matematik.

Definice

Recamánova sekvence ${ displaystyle a_ {0}, a_ {1}, a_ {2} tečky}$ je definován jako:

{ displaystyle a_ {n} = { begin {cases} 0 && { text {if}} n = 0 a_ {n-1} -n && { text {if}} a_ {n-1} -n > 0 { text {a již není v pořadí}} a_ {n-1} + n && { text {jinak}} end {případů}}}

První pojmy sekvence jsou:

0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24, 8, 25, 43, 62, 42, 63, 41, 18, 42, 17, 43, 16, 44, 15, 45, 14, 46, 79, 113, 78, 114, 77, 39, 78, 38, 79, 37, 80, 36, 81, 35, 82, 34, 83, 33, 84, 32, 85, 31, 86, 30, 87, 29, 88, 28, 89, 27, 90, 26, 91, 157, 224, 156, 225, 155, ...

On-line encyklopedie celočíselných sekvencí (OEIS)

Recamánova sekvence byla pojmenována po svém vynálezci, kolumbijském matematikovi Bernardovi Recamánovi Santosovi, autorem Neil Sloane, tvůrce On-line encyklopedie celočíselných sekvencí (OEIS). Položka OEIS pro tuto sekvenci je A005132.

I když Neil Sloane Shromáždil více než 325 000 sekvencí od roku 1964, na Recamánovu sekvenci odkazoval ve svém příspěvku Moje oblíbené celočíselné sekvence.^[5] Rovněž uvedl, že ze všech sekvencí v OEIS je jeho oblíbený poslech^[1] (slyšíte to níže).

Vizuální reprezentace

Děj pro prvních 200 podmínek Recámanovy posloupnosti.^[3]

Nejběžnější vizualizací Recamánovy posloupnosti je jednoduše vykreslení jejích hodnot, například obrázku vpravo.

Dne 14. Ledna 2018 Numberphile Kanál YouTube zveřejnil video s názvem Mírně strašidelná Recamánova sekvence^[4], zobrazující vizualizaci pomocí střídajících se půlkruhů, jak je znázorněno na obrázku v horní části této stránky.

25. ledna 2018 Benjamin Chaffin^[6] publikoval a log – log plot vizualizovat prvních 10²³⁰ z hlediska Recamánovy posloupnosti.^[7]

Zvuková reprezentace

„Recamánova sekvence“

„Zahrajte si Recamánovu sekvenci.“

Hodnoty sekvence mohou být spojeny s hudebními notami, v takovém případě může být průběh sekvence spojen s provedením hudební melodie.^[8]

Vlastnosti

Sekvence vyhovuje^[1]:

{ displaystyle a_ {n} geq 0}

{ displaystyle | a_ {n} -a_ {n-1} | = n}

Toto není permutace celých čísel: první opakovaný člen je ${ displaystyle 42 = a_ {24} = a_ {20}}$ .^[9] Další je ${ displaystyle 43 = a_ {18} = a_ {26}}$ .

Dohad

Neil Sloane domníval se, že každé číslo se nakonec objeví,^[10]^[11]^[12] ale nebylo prokázáno. I když 10¹⁵ byly vypočteny podmínky (v roce 2018), číslo 852 655 se na seznamu neobjevilo.^[1]

Použití

Kromě matematických a estetických vlastností lze Recamánovu sekvenci použít k zajištění 2D obrázků pomocí steganografie.^[13]

Programování

Výpočet podmínek posloupnosti lze naprogramovat.

The wiki programování na základě chrestomathy webová stránka Rosettský kód, na jeho stránce Recamanova sekvence shromažďuje řadu programů ve více než 30 různých programovacích jazycích pro výpočet podmínek posloupnosti.^[14]

Alternativní sekvence

Sekvence je nejznámější sekvence vynalezená Recamánem. Existuje další sekvence, méně známá, definovaná jako:

{ displaystyle a_ {1} = 1}

{ displaystyle a_ {n + 1} = { begin {cases} a_ {n} / n && { text {if}} n { text {divides}} a_ {n} na_ {n} && { text {jinak}} end {cases}}}

Tento záznam OEIS je A008336.

Reference

^ ^A ^b ^C ^d https://oeis.org/A005132
^ http://mathworld.wolfram.com/RecamansSequence.html
^ ^A ^b Recamanova sekvence. Řešení úkolu Recamanova sekvence v Rosettský kód, napsáno ve Fōrmulæ. Fōrmulæ wiki. Citováno 24. září 2019.
^ ^A ^b Mírně strašidelná Recamánova sekvence, Numberphile video.
^ N. J. A. Sloane, Sequences and their Applications (Proceedings of SETA '98), C. Ding, T. Helleseth and H. Niederreiter (editors), Springer-Verlag, London, 1999, pp. 103–130.
^ https://oeis.org/wiki/User:Benjamin_Chaffin
^ https://oeis.org/A005132/a005132.png
^ https://oeis.org/play?seq=A005132
^ Matematicky méně cestoval
^ https://oeis.org/A057167
^ https://oeis.org/A064227
^ https://oeis.org/A064228
^ S. Farrag a W. Alexan, „Secure 2D Image Steganography Using Recamán's Sequence“, 2019 Mezinárodní konference o pokročilých komunikačních technologiích a sítích (CommNet), Rabat, Maroko, 2019, s. 1-6. doi: 10.1109 / COMMNET.2019.8742368
^ http://rosettacode.org/wiki/Recaman%27s_sequence

externí odkazy

[oeis-1] A ^b ^C ^d https://oeis.org/A005132

[2] ttp://mathworld.wolfram.com/RecamansSequence.html

[formulae-3] A ^b Recamanova sekvence. Řešení úkolu Recamanova sekvence v Rosettský kód, napsáno ve Fōrmulæ. Fōrmulæ wiki. Citováno 24. září 2019.

[numberphile-4] A ^b Mírně strašidelná Recamánova sekvence, Numberphile video.

[5] N. J. A. Sloane, Sequences and their Applications (Proceedings of SETA '98), C. Ding, T. Helleseth and H. Niederreiter (editors), Springer-Verlag, London, 1999, pp. 103–130.

[6] ttps://oeis.org/wiki/User:Benjamin_Chaffin

[7] ttps://oeis.org/A005132/a005132.png

[8] ttps://oeis.org/play?seq=A005132

[9] Matematicky méně cestoval

[10] ttps://oeis.org/A057167

[11] ttps://oeis.org/A064227

[12] ttps://oeis.org/A064228

[13] S. Farrag a W. Alexan, „Secure 2D Image Steganography Using Recamán's Sequence“, 2019 Mezinárodní konference o pokročilých komunikačních technologiích a sítích (CommNet), Rabat, Maroko, 2019, s. 1-6. doi: 10.1109 / COMMNET.2019.8742368

[14] ttp://rosettacode.org/wiki/Recaman%27s_sequence

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]