Radiodrom - Radiodrome

v geometrie, a radiodrom je sledovací křivka následuje bod, který sleduje další lineárně se pohybující bod. Termín je odvozen od řecký slova ῥᾴδιος, rhāidios„jednodušší“ a δρόμος, drómos„běží“. Klasická (a nejznámější) forma radiodromu je známá jako „psí křivka“; to je cesta, kterou pes sleduje, když plave přes proud s proudem po něčem, co spatřil na druhé straně. Protože se pes pohybuje proudem, bude muset změnit směr; bude také muset plavat dále, než kdyby to bylo optimální směr. Tento případ popsal Pierre Bouguer v roce 1732.

Radiodrom lze alternativně popsat jako cestu, kterou pes sleduje, když pronásleduje zajíce, za předpokladu, že zajíc běží v přímém směru konstantní rychlostí.

Cesta psa, který pronásleduje zajíce, běží po svislé přímce konstantní rychlostí. Pes běží směrem k momentální poloze zajíce a bude neustále měnit svůj směr.

Matematická analýza

Zavést souřadnicový systém s počátkem v poloze psa v časové zóně as y-osa ve směru zajíce běží s konstantní rychlostí ${ displaystyle V_ {t}}$. Poloha zajíce v čase nula je (A_X, A_y) s A_X > 0 a včas t to je

${ displaystyle (T_ {x} , T_ {y}) = (A_ {x} , A_ {y} + V_ {t} t)}$

(1)

Pes běží s konstantní rychlostí ${ displaystyle V_ {d}}$ směrem k okamžité poloze zajíce.

Diferenciální rovnice odpovídající pohybu psa, (X(t), y(t)), je tedy

${ displaystyle { dot {x}} = V_ {d} { frac {T_ {x} -x} { sqrt {(T_ {x} -x) ^ {2} + (T_ {y} - y) ^ {2}}}}}$

(2)

${ displaystyle { dot {y}} = V_ {d} { frac {T_ {y} -y} { sqrt {(T_ {x} -x) ^ {2} + (T_ {y} - y) ^ {2}}}}}$

(3)

Je možné získat analytický výraz uzavřené formy y=F(X) pro pohyb psa, od (2) a (3) z toho vyplývá, že

${ displaystyle y '(x) = { frac {T_ {y} -y} {T_ {x} -x}}}$

(4)

Násobení obou stran s ${ displaystyle T_ {x} -x}$ a převzetí derivátu s ohledem na X pomocí toho

${ displaystyle { frac {dT_ {y}} {dx}} = { frac {dT_ {y}} {dt}} { frac {dt} {dx}} = { frac { V_ {t}} {V_ {d}}} { sqrt {{y '} ^ {2} +1}}}$

(5)

jeden dostane

${ displaystyle y '' = { frac {V_ {t} { sqrt {1+ {y '} ^ {2}}}} {V_ {d} (A_ {x} -x)}}}$

(6)

nebo

${ displaystyle { frac {y ''} { sqrt {1+ {y '} ^ {2}}}} = { frac {V_ {t}} {V_ {d} (A_ {x} -x )}}}$

(7)

Z tohoto vztahu vyplývá, že

${ displaystyle sinh ^ {- 1} (y ') = B - { frac {V_ {t}} {V_ {d}}} ln (A_ {x} -x)}$

(8)

kde B je integrační konstanta určená počáteční hodnotou y„v čase nula, y ' (0) = sinh (B − (PROTI_t /PROTI_d) lnA_X), tj.,

${ displaystyle B = { frac {V_ {t}} {V_ {d}}} ln (A_ {x}) + ln left (y '(0) + { sqrt {{y' ( 0)} ^ {2} +1}} vpravo)}$

(9)

Z (8) a (9) z toho po několika výpočtech vyplývá, že

${ displaystyle y '= { frac {1} {2}} left [ left (y' (0) + { sqrt {{y '(0)} ^ {2} +1}} right) left (1 - { frac {x} {A_ {x}}} right) ^ {- { frac {V_ {t}} {V_ {d}}}} + left (y '(0) - { sqrt {{y '(0)} ^ {2} +1}} doprava) doleva (1 - { frac {x} {A_ {x}}} doprava) ^ { frac {V_ {t}} {V_ {d}}} vpravo]}$

(10)

Kromě toho od y(0)=0, vyplývá z (1) a (4) že

${ displaystyle y '(0) = { frac {A_ {y}} {A_ {x}}}}$

(11)

Pokud teď PROTI_t ≠ V_d, vztah (10) integruje do

${ displaystyle y = C - { frac {A_ {x}} {2}} left [{ frac { left (y '(0) + { sqrt {{y' (0)} ^ {2 } +1}} vpravo) vlevo (1 - { frac {x} {A_ {x}}} vpravo) ^ {1 - { frac {V_ {t}} {V_ {d}}}} } {1 - { frac {V_ {t}} {V_ {d}}}}} + { frac { left (y '(0) - { sqrt {{y' (0)} ^ {2 } +1}} vpravo) doleva (1 - { frac {x} {A_ {x}}} vpravo) ^ {1 + { frac {V_ {t}} {V_ {d}}}} } {1 + { frac {V_ {t}} {V_ {d}}}}} vpravo$

(12)

kde C je konstanta integrace. Protože znovu y(0)=0, své

${ displaystyle C = { frac {A_ {x}} {2}} vlevo [{ frac {y '(0) + { sqrt {{y' (0)} ^ {2} +1}} } {1 - { frac {V_ {t}} {V_ {d}}}}} + { frac {y '(0) - { sqrt {{y' (0)} ^ {2} +1 }}} {1 + { frac {V_ {t}} {V_ {d}}}}} vpravo$

(13)

Rovnice (11), (12) a (13) pak společně naznačují

${ displaystyle y = { frac {1} {2}} vlevo {{ frac {A_ {y} + { sqrt {A_ {x} ^ {2} + A_ {y} ^ {2}} }} {1 - { frac {V_ {t}} {V_ {d}}}}} left [1- left (1 - { frac {x} {A_ {x}}} right) ^ {1 - { frac {V_ {t}} {V_ {d}}}} right] + { frac {A_ {y} - { sqrt {A_ {x} ^ {2} + A_ {y} ^ {2}}}} {1 + { frac {V_ {t}} {V_ {d}}}}} vlevo [1- vlevo (1 - { frac {x} {A_ {x}} } right) ^ {1 + { frac {V_ {t}} {V_ {d}}}} right] right }}$

(14)

Li PROTI_t = V_d, vztah (10) místo toho dává

${ displaystyle y = C - { frac {A_ {x}} {2}} left [ left (y '(0) + { sqrt {{y' (0)} ^ {2} +1} } right) ln left (1 - { frac {x} {A_ {x}}} right) + { frac {1} {2}} left (y '(0) - { sqrt {{y '(0)} ^ {2} +1}} vpravo) vlevo (1 - { frac {x} {A_ {x}}} vpravo) ^ {2} vpravo]}$

(15)

Použitím y(0)=0 opět to následuje

${ displaystyle C = { frac {A_ {x}} {4}} vlevo (y '(0) - { sqrt {{y' (0)} ^ {2} +1}} vpravo)}$

(16)

Rovnice (11), (15) a (16) pak společně naznačují

${ displaystyle y = { frac {1} {4}} vlevo (A_ {y} - { sqrt {A_ {x} ^ {2} + A_ {y} ^ {2}}} vpravo) left [1- left (1 - { frac {x} {A_ {x}}} right) ^ {2} right] - { frac {1} {2}} left (A_ {y} + { sqrt {A_ {x} ^ {2} + A_ {y} ^ {2}}} right) ln left (1 - { frac {x} {A_ {x}}} right) }$

(17)

Li PROTI_t d, vyplývá z (14) že

${ displaystyle lim _ {x až A_ {x}} y (x) = { frac {1} {2}} left ({ frac {A_ {y} + { sqrt {A_ {x} ^ {2} + A_ {y} ^ {2}}}} {1 - { frac {V_ {t}} {V_ {d}}}}} + { frac {A_ {y} - { sqrt {A_ {x} ^ {2} + A_ {y} ^ {2}}}} {1 + { frac {V_ {t}} {V_ {d}}}}} vpravo)}$

(18)

Li PROTI_t ≥ V_d, jeden má z (14) a (17) že ${ displaystyle lim _ {x až A_ {x}} y (x) = infty}$, což znamená, že zajíc nebude nikdy chycen, kdykoli začne pronásledování.

Viz také

• Myš problém

Reference

• Nahin, Paul J. (2012), Pronásledování a úniky: Matematika pronásledování a úniků Princeton: Princeton University Press, ISBN  978-0-691-12514-5.
• Gomes Teixera, Francisco (1909), Imprensa da universidade (ed.), Traité des Courbes Spéciales Remarquables, 2, Coimbra, s. 255